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墨滴

张春成

2021/06/13  阅读:38  主题:默认主题

概然而非必然的世界(之善战者无赫赫之功)

“欧洲杯”开始了,本文暂时应个景,尝试用概率分析方法解决一个长久以来的思考,即

冠军比亚军强多少?

通过分析我们可以看到,在“联赛”体系下,其实二者差不多;但在“杯赛”体系下,亚军则有大概有 的概率“德不配位”。 现在的很多商业理论,如“弯道超车”、“差异化经营”等,都是在这样的概率体系下,才得以成立。 许多竞技或商业的“奇迹”,不过是这种概率行为的具体表现而已。


联赛与杯赛

联赛与杯赛属于截然不同的两种比赛形式。

  • 在联赛赛制下,参加者往往需要多次重复的“捉对”比赛,通过“积分”判定最后的排名;
  • 在杯赛赛制下,能加者往往采用单次淘汰的比赛方式,撑到最后的赢家赢得最后的冠军。

拿足球来说,几年一次的“欧洲杯”、“世界杯”等的决赛圈比赛,一般属于杯赛。 而每年的顶级联赛,如“英超”、“意甲”等,则属于联赛。

联赛计分机制及其概率分析

我在《概然而非必然的世界(之三)》的经济学例子解释中,已经介绍了“二项分布”。 结合联赛赛制的多次重复性,我们不难分析出,某个参与者最后的得分,一定“相合[1]”于其赢得单场比赛的概率与比赛场次之积。 在参赛者比赛场次相同的情况下,随着联赛的进行,参赛者的得分排序一定是与其实力排序是一致的。

因此,我们有理由认为,联赛成绩的“含金量”是相当高的。

杯赛的冠军与亚军

而杯赛采用淘汰赛制,只能相当于“各参赛者只比赛一次”的“低配版”联赛,虽然无形中提高的冠军的声望。 却在概率水平上,使亚军的含金量大大降低。 事实上,通过以下分析,我们可以看到,当某个参与者实力排名在第 名的情况下,他虽然与冠军无缘,但都有机会夺得亚军。

为了把这个问题解释明白,我们不妨把单淘汰赛制,虚拟地划分为两个半区。 下面在两个半区的基础上,开始我们的分析

  • 我们在一个半区选定某支队伍;
  • 那么,即使他有机会挺进决赛,他也只需要与自己半区的参与者比赛,而不会遇到另一个半区的参与者;
  • 这样,即使他的实力并不排在第二名,他也可以在“良好”的分区方案下,直接在决赛面对实力第一的参与者;
  • 这种“良好”的分区方案,只要满足这样的条件即可,即,所有比他强的参与者,全部都划到另一个分区。
FinalDraw.png

到此,我们惊讶的发现,要想获得亚军,我们的参与者不必成为实力第二的人。 而是在极端情况下,实力处于中游即可(虽然这样,获得亚军的概率会很小)。

杯赛亚军的概率计算

由于这样的计算并不复杂,我们使用Python进行计算(代码可见我的GITHUB仓库[2]),可得这样一张表格

表一、亚军概率表

2ndProbTable.png
2ndProbTable.png

表格的列代表参与者数量分别为 时的模拟计算结果; 表格的行代表我们的参与者实力排名分别为 时,其获得亚军的概率值。

通过上表我们看到,实力排名分别为 时,获得亚军的概率分别约为 。 反过来说,如果某个参与者获得亚军,那么他分别有约 的概率,实力处于第 名。 (这里用到了贝叶斯估计[3]的分析方法,这个坑我回头慢慢填。)

因此,我们不难看到,杯赛赛制就是根据这样的原理,稀释了亚军的价值。

善战者无赫赫之功

由于人的认知比较偏好“特别”的事情,即与预期并相符的事情。 这样的事情更容易带来惊讶、兴奋等感官情绪,并为人所乐道。

在联赛赛制中,实力往往是相对固定的,除了偶尔的小意外之外,很难有大的波澜,赢的往往是所谓的“善战者”。 而杯赛不一样,一方面,由于其采样数量少,难以避免地会产生更多的意外情况; 另一方面,最终的成绩归属往往出人意料。 如前文所述,亚军的归属自然地带有 的不确定性,这其实就是杯赛的看点之一。 “赫赫之功”即在于此。

这样来讲,所谓“善战者”天生与“赫赫之功”无缘。 但第二名、第三名甚至第四名,在亚军的位置上,则大有文章可作。 现在的很多商业理论,如“弯道超车”、“差异化经营”等,都是在这样的概率体系下,才得以成立。 许多竞技或商业的“奇迹”,不过是这种概率行为的具体表现而已。

参考资料

[1]

相合: https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0169023X01000520

[2]

GITHUB仓库: https://github.com/listenzcc/JupyterScripts.git

[3]

贝叶斯估计: https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/bayesian-estimation

张春成

2021/06/13  阅读:38  主题:默认主题

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张春成