Loading...
墨滴

蒹葭苍苍

2022/01/09  阅读:33  主题:姹紫

代数方程进阶(5)

代数方程进阶(5)

1 一个定理

  • 定理4:对于数域 上次数为素数 的不可约方程,若其在数域 上可约(其中, 为数域 次不可约方程 的一个根),则 的因子。

2 证明

在数域 上可以分解成两个多项式 的乘积(其中 的次数分别为 ),即

为任意一个有理数,在数域M上的多项式

时, 。根据阿贝尔不可约定理[1],对于不可约方程 的所有根 的值均为零。

由于方程 对任意有理数都成立,再考虑到多项式的连续性可知,该方程对所有的复数也能成立。因此, 。 类似地,对于 的所有根,上述方程也能成立。

将上面的 个方程相乘,得到

其中, 分别为 个多项式 以及 的乘积。由于 的根的对称多项式,根据对称多项式基本定理可知, 的系数都可以用 的系数表示,因此 都是数域M上的多项式。

于是,至少对于不可约多项式 的一个根, 必然等于零, 也是如此。因此, 都可以被 整除。又由于 不可约,且除了 没有其他的因子,所以

其中,

对比等式两边的次数,可得

又因为 ,所以 的因子。

参考资料

[1]

代数方程进阶(3): https://mp.weixin.qq.com/s/bJQ9YMjCLmmYp4svY1RW7g

蒹葭苍苍

2022/01/09  阅读:33  主题:姹紫

作者介绍

蒹葭苍苍