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2021/10/18  阅读:26  主题:默认主题

应用随机过程06

前言

迄今为止,本公众号最受欢迎的笔记为《应用随机过程学习笔记》,与教材相比,它虽然将一些推导步骤进行了详细说明,但其中不乏错漏与冗余。故特此修正,对部分内容或修改或删除,便于学习者对照查看。

摘要

本文对应用随机过程中的鞅进行了介绍,其中较为重要的内容是鞅的概念、停时的概念、停时定理。

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目录

  • 6 鞅
    • 6.1 基本概念
    • 6.2 鞅的停时定理
    • 6.3 一致可积性
    • 6.4 鞅收敛定理
    • 6.5 连续鞅

6 鞅

6.1 基本概念

“公平”的赌博:意味着每次赌博的输赢机会是均等的,并且赌博策略是依赖于前面的赌博结果的.如赌博者每一局胜负概率相等均为 ,记为

赌博者根据前 局的结果来确定第 的赌注 ,即 可以视作 的函数,记为

那么第 次赌博结束后的赌资为

  1. 任何赌博者都不能改变赌博策略(改变每一局所下的赌注)使得“公平”的赌博变成有利于自己的赌博.

  1. 下鞅(sub-martingale)的定义:随机过程 称为关于 的下鞅,如果对于 满足:
  • (1)
  • (2) ,其中
  • (3)

  1. 上鞅(sup-martingale)的定义:随机过程 称为关于 的上鞅,如果对于 满足:
  • (1)
  • (2) ,其中
  • (3)

  1. 鞅(martingale)的定义:随机过程 称为关于的鞅,如果 既是 的上鞅也是它的下鞅.

  1. 赌博的公平与鞅的定义
  • (1) 下鞅:有利于自己的赌博策略;
  • (2) 上鞅:不利于自己的赌博策略;
  • (3) 鞅:公平的赌博.

  1. 子代数流的定义:在完备的概率空间 上,我们称 子代数流,如果 上的一列 子代数,并且使得

注: 代数流是元素为集合族( )的集合族


  1. 可测的定义:对随机过程 ,如果 ,那么称 可测的.

  1. 适应的定义:随机过程 称为 适应的,如果对于 可测的.(或称 是适应列)

  1. 将“ ”或“ 的函数”重新定义: 适应的.

  1. 鞅的定义(一般地):设 中的单调递增的子 代数列,随机过程 称为关于 的鞅,如果满足:
  • (1) 适应的;
  • (2)
  • (3)

  1. 关于鞅的几个结论(试证):
  • (1) 适应列 是下鞅 是上鞅.
  • (2) 如果 是两个下鞅 也是下鞅.
  • (3) 如果 是两个下鞅(或上鞅) (或 )也是上鞅(或下鞅).

(复习)凸函数的性质:定义在有穷域无穷开区间 上的函数 ,称它是凸函数,如果

  1. 条件Jensen不等式:设 为实数集 上的凸函数,随机变量 满足
  • (1)
  • (2) . 那么 ,其中 是任意递增的 代数列.

  1. 条件Jensen不等式的特殊情况:如果 ,那么Jensen不等式的形式是

  1. 利用条件Jensen不等式构造新的下鞅:设 是关于 的鞅(或下鞅), 上的凸函数,且 ,那么 是关于 的鞅(或下鞅).

    特别地,

  • (1) 是下鞅;
  • (2) 若 ,那么 是下鞅.

6.2 鞅的停时定理

  1. 鞅的性质:对于关于 的鞅 . 因为 ,对两边关于 取期望,那么 ,递推可得这一性质.

  1. 鞅的停时定理目标是寻找使得 成立的条件,其中 是随机变量,即在随机的时刻结束赌局,此时的赌本与赌博者开始时的赌本一样.

  1. 停时的定义:设 是一个随机变量序列,称随机函数 是关于过程 的停时,如果
  • (1) 上取值;
  • (2) 对每一个

  1. 停时概念的内涵:对于事件 都应该由 时刻及其之前的信息完全确定. 即赌博者决定何时结束赌博,仅仅以他过去的输赢来判断.而不能说:如果下一局赢了就停止赌博.

约定


  1. 停时的几个例子:
  • (1) 确定时刻 是一个停时.
  • (2) 首达时刻 是一个停时,它表示 首次进入集合 的时刻 .

因为

所以 完全由 所决定,或者

例:如果 是两个停时,那么 都是停时. 证明: 是停时,那么 ,由 的性质,有

根据这种思路和 代数的性质,可知

所以 是停时.

所以 是停时.

所以 是停时.


  1. 有界停时定理:设 是一个关于 的鞅, 是一个关于 的停时,并且 (有界停时),设 ,则有 ,等式两边取期望后,有

证明:将 改写为

然后利用前面停时的结论以及