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墨滴

蒹葭苍苍

2022/01/04  阅读:39  主题:姹紫

代数方程进阶(3)

代数方程进阶(3)

1 阿贝尔不可约性定理

  • 如果数域 上的不可约方程 的一个根也是 上的方程 的一个根,则 的所有根都是 的根。同时, ,其中, 也是 上的多项式。

证明:

的最大公因子为 ,则

其中,所有的系数均属于数域 。 根据最大公因子的性质,有

其中, 均为 上的多项式。

由于 的一个根也是 的根,则至少存在一次公因子 。 因为 是不可约的,则 。因此

因此, 可以被 整除,且对于 的每个零点, 的值均为零。

2 推论

  • 推论1:如果数域 上的不可约方程 的一个根也是 上的方程 的一个根,且 的次数低于 ,则 的所有系数均为零。

  • 推论2:如果 是数域 上的不可约方程,则数域 上不存在另一个不可约方程 ,使得 有公共根。

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蒹葭苍苍