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墨滴

傲天居士

2021/07/05  阅读:76  主题:默认主题

经济学的常见生产函数

1 生产函数模型的发展

在经济学中,生产理论是最重要的内容之一;同样,在计量经济学中,生产函数模型的研究与发展始终是一个重要且活跃的领域。从20世纪20年代末,美国数学家柯布(C.Cobb)和经济学家道格拉斯( P. Dauglas)提出了生产函数这一名词,并用 1899-1922年的数据资料导出了著名的C-D生产函数以来,不断有新的研究成果出现,使生产函数的研究与应用呈现长盛不衰的局面。

生产函数是描述生产过程中投入的生产要素的某种组合同它可能的最大产出量之间的依存关系的数学表达式,即

其中,Y为产出量,A,K,L分别为技术、资本、劳动等投入要素。这里“投入的生 产要素”是生产过程中发挥作用、对产出量产生贡献的生产要素;“可能的最大产出量”指这种要素组合应该形成的产出量,而不一定是实际产出量。生产要素对产出量的作用与影响,主要是由一定的技术条件决定的,所以,从本质上讲,生产函数反映了生产过程中投入要素与产出量之间的技术关系。

1.1 要素替代弹性

生产函数所描述的是投入要素与产出量之间的技术关系,要素替代弹性是该技术关系的重要表征。将要素替代弹性定义为两种要素的比例的变化率与边际替代率的变化率之比,一般用表示,则有

其中,边际产量 是指其他条件不变时,某一种投入要素增加1单位时导致的产出量的增加量,用于描述投入要素对产出量的影响程度。

一般情况下,要素替代弹性为一个正数。如果用K替代L,则上式分子大于0: 由于L减少,其边际产量 増大,而由于K增加,其边际产量 减小,于是上 式分母也大于0。所以替代弹性 大于0,表明要素之间具有有限可替代性。在特殊情况下,要素之间不可以替代,此时K/L不变,则上式分子等于0,所以替代弹性 等于0。另一种极端情况是,无论要素的数量增加或者减少,其边际产量不变,此时上式分母等于0,替代弹性 ,表明要素之间具有无限可替代性。

2 常见的生产函数模型

2.1 线性生产函数模型

如果假设资本K与劳动L之间是无限可替代的,则产出量Y与投入要素组合之间的 关系可以用如下形式的模型描述:

对于该模型,要素的边际产量 , ,边际产量之比 。于是有

代入要素替代弹性的计算公式得到 ,即要素替代弹性为

2.2 投入产出生产函数模型

另一种极端的情况是假设资本K与劳动L之间是完全不可替代的,则产出量Y与投 入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述:

称为投入产出型生产函数,其中a,b为生产1单位的产出量所必须投入的资本、劳动的数量。由于a,b为常数,所以产出量Y所必需的资本投入量K=aY,劳动投入量L=bY 二者之比K/L=a/b为常数,d(K/L)=0。代入得到 ,即要素替代弹性为 资本K与劳动L之间完全不可替代。

2.3 C-D生产函数模型

1928年美国数学家柯布和经济学家道格拉斯提出的生产函数的数学形式为

根据要素的产出弹性的定义,很容易推出:

即参数 分别是资本与劳动的产出弹性。那么由产出弹性的经济意义,应该有

在最初提出的C-D生产函数中,假定参数满足 ,即生产函数的一阶齐次性,也就是假定研究对象满足规模报酬不变。1937年,杜兰德提出了C-D生产函数的改进型,即取消了 的假定,允许要素的产出弹性之和大于1或小于1,也即承认研究对象可以是规模报酬递增的,也可以是规模报酬递减的,取决于参数的估计结果。模型中的待估参数A为效率系数,是广义技术进步水平的反映。显然,应该有 。由此可见,C-D生产函数模型的参数具有明确的经济意义,这是它的一个显著特点,是它被广泛应用的一个重要原因。该生产函数可以通过简单的对数变换,化为线性模型进行估计。

C-D函数的要素替代弹性为:

这是一个重要的结论,它表明C-D生产函数模型假设要素替代弹性为1.

显然,与上述要素之间可无限替代的线性生产函数模型和要素之间完全不可替代的 投入产出生产函数模型相比较,C-D生产函数模型假设要素替代弹性为1,是更加逼近于生产活动的实际,这是一个很大的进步。正因为此,加之C-D生产函数模型的参数具有明确的经济意义,使得它一经提出,就得到广泛的应用。直到今天,它仍然是应用最广泛的一种生产函数模型。

但是,C-D生产函数模型关于要素替代弹性为1的假设仍然具有缺陷。根据这一假 设,不管研究对象是什么,样本区间是什么,也不管样本观测值是什么,要素替代弹性都为1,这是与实际不符的。例如,劳动密集型的农业与资本密集型的现代工业,资本与劳动之间的替代性质是明显不同的:再例如,对于同一个研究对象,如果样本区间不同,即考察的区间不同,要素之间的替代性质也应该是不同的:即使研究对象相同、样本区间相同,对于不同的样本点,由于要素的比例不同,相互之间的替代性质也应该是不同的。所有这些,都需要人们发展新的生产函数模型。

2.4 不变替代弹性生产函数模型(CES生产函数)

在1961年,由阿罗(Arow)、钱纳利(Chenery)、明海斯(Mihas)和索洛(Solow)四位学者提出了两要素不变替代弹性(Constant Elasticity of Substitution)生产函数模型,简称CES生产函数模型,其基本形式如下:

其中,待估参数A表示广义技术进步水平,应该有 为分配系数, 并且满足

; 为替代参数,下面将专门讨论。下式假定研究对象具有不变规模报酬,因为

即当资本与劳动的数量同时增长 倍时,产出量也増长 倍。后来,在应用中取消了这 假定,将上式改写为

即承认研究对象可以是规模报酬递增的,也可以是规模报酬递减的,取决于参数m的估 计结果。于是参数m为规模报酬参数,当m=1(<1,>1时,表明研究对象是规模报酬不变(递减、递增)的。公式(2.4.2)为实际应用的CES生产函数模型的理论形式。

现在来看看模型(4.2.2)对要素替代弹性的假设。根据公式(1.1.1),要素替代弹性为:

因为

所以

由于要素替代弹性 为一个正数,所以参数 的数值范围为

由公式(2.4.3)式可以看出,一旦研究对象确定、样本观测值给定,可以得到参数 的估计值,并计算得到要素替代弹性的估计值。对于不同的研究对象,或者同一研究对象不同的样本区间,由于样本观测值不同,要素替代弹性是不同的。这使得CES生产函数比C-D生产函数更接近现实。但是,在CES生产函数中,仍然假定要素替代弹性与样本点无关,这就是不变替代弹性生产函数模型的“不变”的含义。而这一点,仍然是与实际不符的。对于不同的样本点,由于要素的比例不同,相互之间的替代性质也应该是不同的。所以,不变替代弹性生产函数模型还需要发展。

将 CES 生产函数模型两边取对数, 将其中的 处展开泰勒级 数,取 0 阶、1 阶和 2 阶项,得到

一个简单线性模型,采用单方程模型的估计方法,利用参数对应关系和 ,可 为 以计算得到关于参数 的估计值。 在不变替代弹性生产函数模型中, 如果参数 的估计值等于0,则要素替代弹性 的 估计值为 此时 C E S 生产函数退化为 C-D 生产函数。

2.5 变替代生产函数模型(VES生产函数)

变替代弹性(Variable Elasticity of Substitution)生产函数模型,简称 VES 生产函数模 型,有许多理论和方法方面的研究成果。较著名的是瑞宛卡(Revankar)于 1971 年提出的 模型。模型假定要素替代弹性 为要素比例的线性函数,即

容易理解,要素比例不同,要素之间的替代性能是不同的。当 较大时,资本替代劳 动就比较困难; 当 较小时,资本替代劳动就比较容易。生产函数的一般形式为

其中, 。 当 时, (2.5.1)式变为

, 则有

此吋,VES 生产函数模型退化为(2.4.1)式所表示的 CES 生产函数模型

时, (2.5.1)式变为

此时,VES 生产函数模型退化为(7.3.12)式所表示的 C-D 生产函数模型 当 时, (2.5.1)式可写成

即为一般常用的 VES 生产函数模型,其中 是待估参数。 (2.5.2)式为规模报酬不变的情况,如果将规模报酬系数 作为一个待估参数, 则 VES 生产函数模型的理论形式为

将(2.5.3)式的计量形态假设为

其对数形式为

处展开泰勒级数:

代入(2.5.5)式得到

对(2.5.6)式进行变量置换,得到

采用单方程模型的估计方法,得到 的估计值,利用对应关系可以计算得到关 于参数 的估计值。

2.6 多要素生产函数模型

如果作为产出量的解释变量的投入要素多于2个,可以有不同的处理方法,关键在 于对要素之间替代性质的认识。下面以三要素(资本K、劳动L和能源E)为例介绍几种 多要素生产函数模型。

  1. 多要素线性生产函数模型。如果资本K、劳动L和能源E互相之间都是无限可替代的,则产出量Y与投入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述:
  1. 多要素投入产出生产函数模型。假设资本K、劳动L和能源E互相之间都是完全不可替代的,则产出量Y与投入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述:
  1. 多要素 C-D 生产函数模型。假设资本 、劳动 和能源 互相之间的替代弹性都为1, 则产出量 与投入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述:
  1. 多要素一级 CES 生产函数模型。假设资本 、劳动 和能源 相互之间的替代弹性相同,为同一个待估参数,则产出量 与投入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述:

其中, 为分配系数, , 并且满足 。 要素之间的替代弹性为

  1. 多要素二级 CES 生产函数模型。假设资本 、劳动 和能源 相互之间的替代 弹性不相同,例如资本与能源之间的替代弹性不同于它们与劳动之间的替代弹性,这是 比较符合实际的,那么一级 CES 生产函数模型就不能描述要素之间的替代性质。许多人 在探索如何既保持 CES 生产函数的性质,又能解决多要索之间不同替代弹性的问题。 1967 年加藤(Sato)提出的多要素二级 CES 生产函数模型,是一个比较成功的具有实用价 值的成果。以三要素为例,二级 CES 生产函数模型表达如下:

其中, 为第一级CES生产函数,在第二级CES生产函数中,将它作为一个组合要素。

当投入要素多于3个时,还可以根据要素之间的替代性质,构造三级CES生产函数 模型,其原理与二级CES生产函数模型相同,不再赘述。

2.7 超越对数生产数模型

一个更具有一般性的变替代弹性生产函数模型是由克里斯蒂森(L.Christensen)、乔根森(D.Jorgenson)和刘(Lau)于 1973 年提出的超越对数生产函数模型,其形式为

该生产函数模型的显著特点是它的易估计和包容性。它是一个简单线性模型,可以直接采用单方程线性模型的估计方法进行估计。所谓包容性,是它可以被认为是任何形式的 生产函数的近似。例如,如果 则表现为 生产函数:如果 则表现为 CES 生产函数。所以可以根据该生产函数的估计结果判断要素 的替代性质。

原文出处:

李子奈,潘文卿. 计量经济学. 4 版. 北京:高等教育出版社,2015.

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