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墨滴

niko

2021/11/06  阅读:45  主题:橙心

杂谈-统计量估计CI

Oliver the Cat 杂谈-4: 统计量法估计置信区间 (Confidence Interval)

今天在用陈家鼎老师的数理统计复习考研专业课的时候(没错我们金融学综合考数理统计)发现了一个之前在茆诗松老师书上没有讲的方法:统计量法求置信区间。(茆书只讲了枢轴量法)。

Oct5更新:我之前想结合我接触过的一些用于预测的参数模型来讲统计量方法估计CI,但是后边感觉自己的功力还是不够,也没有真的用统计量方法在实际中估计过CI,为了避免误导,这篇杂谈只讲学术。

陈书说到了两个枢轴量法的大缺点:

  1. (对于一个新的分布)怎样寻找枢轴量?这没有统一的方法,是NP难的。
  2. 利用枢轴量方法得到的CI有何优良性质?没有明确的结论。

下面我会依次介绍统计量求CI的方法、 为什么我认为它可能在量化研究中可能有使用价值 以及一些严谨的数学证明(我会仔细介绍过程,这个证明非常绕,陈书也较为精炼)

统计量方法求CI

Notations: 是来自分布为 的总体的样本。 是参数空间(非空), 上的可测函数。设 是任何实值统计量,令

后面为了打字方便,把粗体 都打成 ,它还代表由n个随机样本空间构成的乘积空间上的随机向量。 对于给定的 ,令

\ 同样,为了后边打字简单,在不引起误会的情况下,我们不再强调 事实上,上边给出的 就是我们要的CI下、上限。 对 ,有

相应地对CI上限 ,有

并且直接由上边两条得到: 置信水平的CI。

为什么有应用潜力

前边已经提到,很多因子的分布一言难尽,已有的分布族都很难用来拟合。而量化研究者又没有经历对每一个特别的经验分布找到合适又具有良好数学性质的分布族然后找到相应枢轴量。(当然如果你数理统计功底强到随随便便建立新分布族找到枢轴量,还麻烦以后学术上多指导我哈哈哈哈哈哈哈)

并且,统计量方法的CI上下限是通过上、下确界给出的。这在连续情况下可能会有点麻烦,但是实际操作中我们可以很快遍历出一个下确界(准确来说是最小值)出来。

这里边的 估计量尽量取成一个 的增函数就好(这是唯一一个会需要手工处理的点)

证明

我发现我使用的公式编辑网页有点问题,下面的公式全部改成图片


pdf文档我就放在最后了 链接:https://pan.baidu.com/s/17pYROEhN6rTjWYAlf9mCpA 提取码:0000 扫码获取pdf

niko

2021/11/06  阅读:45  主题:橙心

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