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墨滴

但愿海波平

2021/04/14  阅读:36  主题:WeChat-Format

厦门大学第八届景润杯大学生数学竞赛试题与解析

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※厦门大学第八届景润杯数学竞赛试卷

👅(数学专业组)

设函数 在点 处有定义, , 且

证明:函数 在点 处可导,并求 .

设函数 在区间 上二阶可导,且 , 试证存在 , 使得

设级数

收敛, 其中

求证级数

收敛.

假设级数

同它自身的 乘积为

证明:

a) 级数

为收敛的.

b) 函数

在区间 上是连续的.

函数 在区间 上连续,且函数项级数

在区间 上处处收敛,证明:该函数项级数在 上绝对收敛,并且是一致收敛.

设函数 在区间 上可积,函数 在区间 上有定义,并且是严格单调增加的非负连续函数。求证:

都是 阶矩阵, 这里 都是 阶方阵。 证明存在可逆矩阵 , 使得 .

维线性空间 是的子空间, 且

证明:存在 上线性变换 , 使得 .

解答如下:

首先由泰勒公式得:

所以有:


考虑函数:

由题意可知: ,存在: ,使:


定义集合: ,如果:

由此可得:

根据比较判别法可得级数收敛

注:系数 的选取并不是唯一的.


记数列 的部分和数列为 ,考虑柯西乘积为

注意到这使柯西乘积的部分和数列,用 表示通向:采取纵向求和,所以:

我们 只需要证明这个数列收敛的即可:

所以 ,即柯西乘积收敛.

关于级数乘积有很多丰富的结果,阿贝尔,梅尔滕斯,柯西等人结论.如果大家可以直接利用这个结论就好了:

柯西乘积就收敛.

根据Abel判别法可知: 是收敛的, 一致有界,因此函数项级数一致收敛,又因为每一项 是连续的,因此和函数是连续的.


时显然绝对收敛,当 ,有:

因为 上连续,故 连续,所以 在 有界故 ,所以:

故有绝对收敛.

再证明一致收敛: 根据优级数判别法可知一致收敛.


利用第二积分中值定理即可.

取极限即有:

还有分区间以及拟合法等.

但愿海波平

2021/04/14  阅读:36  主题:WeChat-Format

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但愿海波平