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墨滴

小胖邵振轩

2021/05/10  阅读:85  主题:前端之巅同款

【小灰】树状数组动画详解

Part -1 前言

【小灰】这个意味着什么呢?意味着小白向系列的质量非常高的文章发表到了程序员小灰的公众号上。

本文小灰链接 :https://mp.weixin.qq.com/s/h3TWeQ5qws64csLKBO9LPQ

Part 1 我学它干啥?

树状数组,Binary Indexed Tree(简称BIT),是由Peter M. Fenwick在1994年发明的
——百度百科

名字十分高大上,那么它是干什么的呢?

求和

求和是树状数组中的一个应用,并不是只能求和,本文使用求和作为例子。


现在有一个数组a,我们需要求很多次数组中不同区间的和,而且多次对a中随意一项进行更改
比如说a = {0, 1, 5, 3, 2, 4}

第一次求[1, 3],得到1 + 5 + 3 = 9
第二次求[2, 4],得到5 + 3 + 2 = 10
第三次,这时候我把a[2] += 2
第四次求[1, 5],得到1 + 7 + 3 + 2 + 4 = 17

[l, r]表示从下标l开始,到r结束的区间,包含l和r。
l: left
r: right

这时候很多同学想到的第一个方法,就是直接挨个加起来不就好了吗?

可此题暗藏玄机,我们要进行多次求和啊,每一次都重新计算太慢,能不能提前加好一些区域,反复使用呢?
这就要请出我们的主角了——树状数组

Part 2 lowbit

树状数组的结构十分精妙,其中离不开一个基本运算——lowbit

lowbit动画
lowbit动画

lowbit(i) 可以解释为:i中最低位的1以及后面的0;或者你可以把它理解成i能被n整除,n还可以写成

一种lowbit的实现方式为lowbit(x) = x & -x

long long lowbit(long long x) {
    return x & -x;
}

还是拿172举例子,化成二进制后我们发现除了尾部的100相同之外,其他位都不同,使用按位与能得到lowbit的值

lowbit竖式
lowbit竖式

Part 3 树状数组

既然名字叫树状数组,那它必然是个数组,可外表下藏着二叉树的结构
精巧的结构与lowbit密不可分,真是妙极了。

以下内容中,我们在这里管原始的数组叫做a,树状数组(经过处理)叫做bit,三个图中的数字均为下标,不是值!

结构

BIT结构
BIT结构

bit中存放了多个数的和,那么具体存了几个,在哪里呢?
我们规定bit[i]中存从右往左数lowbit(i)个数。

bit[i] = 在数组a中从 i - lowbit(i) + 1 到 i 求和

更改单个数值

首先,更改数据可以转换成加法,我们这里讨论加法,和更改是一样的。

挨个加起来时,更改a[i]只需要动它一个就可以了。
可是在树状数组中,可能有好几项,都包括这个a[i]。

拿a[3]来举例子吧。

bit[3] 对应 a的[33] 的和
bit[4] 对应 a的[14] 的和
bit[8] 对应 a的[18] 的和
bit[16] 对应 a的[116] 的和

以上四个bit中的值都需要更改
BIT更改
BIT更改

在图中,我们可以看出,4在3头上,8在4头上,16在8头上。我们只需要找到一种方式,得到一个块 头上的块,然后使用循环能推出整串。

如何找到自己头上的数呢?

我跳
我跳

图中的6和橘色没关系,是第二组例子

我们发现,在当前块的位置加上当前块的长度之后能跳到头上。
我是这么理解的:加上一个当前块后会把局部的空缺补上,合并成了一块,而这块也许也补了更大的空缺,这样就一次跳了好几级

上文定义规定了第i个块长度 = lowbit(i),拿来用即可。

c++实现:

void add(int index, long long value) {
    while (index <= n) { // 更新直到最大的块
        node[index] += value; // 更新当前的块
        index += lowbit(index); // 加上一个自己的长度,补上空缺,得到下一个块
    }
}

区间求和

BIT求和
BIT求和

先考虑[1, r]的求和 从右往左取块,将块代表的数值加起来即可

图中的例子:

  • 第一次取到13,长度为lowbit(13) = 1
    第二次13取完了从12开始取,长度为4,一次性将[9, 12]取完
    第三次[9, 13]取完了从8开始,长度为8,取走[1, 8],到此[1, 13]全部取走

c++实现

long long sum(int index) {
    long long sum = 0;
    while (index > 0) {
        sum += node[index];
        index -= lowbit(index);
    }
    return sum;
}

那如果求和左端点不在1处呢?

[l, r]求和,可以写成sum(r) - sum(l - 1)
先把大区域[1, r]求出来,然后扣掉[1, l - 1]的部分,不就是[l, r]吗?

构造

以上的“幻想”只是存在于树已经有了之后,如何根据数组a(原始数组),来构造一棵树呢?
一个简单的方法:

  1. 把数组bit全初始化为0
  2. 遍历整个数组a
  3. 对于每一个数组a[i],都对bit进行add(i, a[i])

每一次add之后都能保证树状数组是正确的,全加一遍后自然构建出一整棵树。

时间复杂度对比

下面的暴力指的是开头提到的挨个相加

  • 求和
    • 暴力:O(n)(挨个相加,加n次)
    • 树状数组:O(log n)(结构与二叉树相仿)
  • 更改
    • 暴力:O(1)(改一次即可)
    • 树状数组:O(log n)(需要改一串,但结构与二叉树相仿)
  • 构造
    • 暴力:O(n)(当做是读入的复杂度)
    • 树状数组:O(n log n)(做n次加法,每次加法为log n

树状数组适合在:多次求和,多次修改,数据量大的场景下使用。

如果无需支持修改,建议使用前缀和,构造O(n),求和O(1)

代码

下面给出的是C++代码。

BITMain为树状数组的使用案例,对应洛谷的 树状数组模板题

//
// Created by Cat-shao on 2021/2/9.
//
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const long long MAX_N = 5000100;

long long lowbit(long long x) {
    return x & -x;
}

class BIT {
public:
    long long node[MAX_N], n;

    BIT(int _n) {
        memset(node, 0sizeof(node));
        n = _n;
    }

    long long sum(int index) {
        long long sum = 0;
        while (index > 0) {
            sum += node[index];
            index -= lowbit(index);
        }
        return sum;
    }

    void add(int index, long long value) {
        while (index <= n) {
            node[index] += value;
            index += lowbit(index);
        }
    }
};

int BITMain()
{
    // https://www.luogu.com.cn/problem/P3374
    int n, m, op, x, y;
    long long value;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    BIT tree = BIT(n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%lld", &value);
        tree.add(i, value);
    }

    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);
        if (op == 1) {
            tree.add(x, y);
        } else if (op == 2) {
            printf("%lld\n", (tree.sum(y) - tree.sum(x - 1)));
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    BITMain();
}

参考:

  1. 胡凡《算法笔记》

如果你有什么疑惑,可以留下评论,谢谢。

小胖邵振轩

2021/05/10  阅读:85  主题:前端之巅同款

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小胖邵振轩