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墨滴

张春成

2021/06/16  阅读:31  主题:默认主题

概然而非必然的世界(之六)

概然而非必然的世界(之六)

本文将解决上篇文章所遗留的待证明问题。


一些必要的证明

Gamma 函数

函数是一个广义积分函数

其中, 。 但是为了避免问题变得过于复杂,我们只考虑实数域的问题。

通过积分的计算,我们不难得出一些有意思的性质

因此,

其中,

这个等式可以用于计算正态分布的累积积分,由于

这其实就简单地解决了“正态分布”概率密度函数的积分为 的问题。

卡文分布的概率密度函数

卡方分布变量的表达式为

其中, ,且相互独立。

卡方分布的概率密度函数为

其中,

为了证明这件事情,我们需要分两步来进行。

  • 首先,计算出卡方分布的形状;
  • 之后,计算归一化系数,即可。

卡方分布的形状计算

由于卡方分布中,存在 个服从正态分布的随机变量,且它们相互独立,可知它们的联合分布有如下关系

这里就需要一点想象力,我们可以把卡方分布的概率密度函数,想象成高维( 维)空间中球的表面,我们使用 来表示该球体的半径。 则该“球”的体积可以用于表示该分布的累积函数

其中, 代表球体。 积分微元 与半径 之间满足如下关系

代入累积函数,可得

进行偏微分,可得

进行变量代换 ,可得

当然,希望读者能理解,为了简化推导,我在推导过程中“自动地”消去了常数项。 这样做是不影响正比例关系的。

卡方分布的归一化系数计算

既然,我们已经计算得到了卡方分布概率密度函数的形状。 下一步只需要计算归一化系数 ,使其满足下式即可

其中,

为了求得 的值,我们从八秆子打不着的 函数开始。

,可得

再做代换 ,可得

该方程左侧即为待求系数

至此,卡方分布的概率密度函数证明完毕。

T分布的概率函数

T分布表达式为

其中, , 。 记为

T分布的概率密度函数为

我们同样采用两步法,来进行计算。

T分布的形状计算

我们的目的是要证明

首先综合正态分布和卡方分布的概率密度函数,可得

为了满足T分布的定义式,需要有如下约束

则有如下偏导数关系成立

此时,考虑下式总是成立

我们将约束关系代入原式, 式,并乘以雅可比行列式系数,可得

积分可得

使用变量代换 ,可得

不难发现,最后一项为 函数,因此

计算完毕。

T分布的归一化系数

为了求得归一化系数,我们使用变量代换 ,可知

代入 的函数形状表达式 ,可得

经过简单的推导,以上积分式可以简化为下式的形式

其中, 代表Beta函数[1]

Beta函数与Gamma函数,有如下关系

因此,归一化系数等于

证明完毕。

累。

参考资料

[1]

Beta函数: https://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html

张春成

2021/06/16  阅读:31  主题:默认主题

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张春成