张春成
2021/06/16阅读:44主题:默认主题
概然而非必然的世界(之六)
概然而非必然的世界(之六)
本文将解决上篇文章所遗留的待证明问题。
一些必要的证明
Gamma 函数
函数是一个广义积分函数
其中, 。 但是为了避免问题变得过于复杂,我们只考虑实数域的问题。
通过积分的计算,我们不难得出一些有意思的性质
因此,
其中, 。
这个等式可以用于计算正态分布的累积积分,由于
这其实就简单地解决了“正态分布”概率密度函数的积分为 的问题。
卡文分布的概率密度函数
卡方分布变量的表达式为
其中, ,且相互独立。
卡方分布的概率密度函数为
其中, 。
为了证明这件事情,我们需要分两步来进行。
-
首先,计算出卡方分布的形状; -
之后,计算归一化系数,即可。
卡方分布的形状计算
由于卡方分布中,存在 个服从正态分布的随机变量,且它们相互独立,可知它们的联合分布有如下关系
这里就需要一点想象力,我们可以把卡方分布的概率密度函数,想象成高维( 维)空间中球的表面,我们使用 来表示该球体的半径。 则该“球”的体积可以用于表示该分布的累积函数
其中, 代表球体。 积分微元 与半径 之间满足如下关系
代入累积函数,可得
对 进行偏微分,可得
进行变量代换 ,可得
即
当然,希望读者能理解,为了简化推导,我在推导过程中“自动地”消去了常数项。 这样做是不影响正比例关系的。
卡方分布的归一化系数计算
既然,我们已经计算得到了卡方分布概率密度函数的形状。 下一步只需要计算归一化系数 ,使其满足下式即可
其中, 。
为了求得 的值,我们从八秆子打不着的 函数开始。
令 ,可得
再做代换 ,可得
该方程左侧即为待求系数 。
至此,卡方分布的概率密度函数证明完毕。
T分布的概率函数
T分布表达式为
其中, , 。 记为 。
T分布的概率密度函数为
我们同样采用两步法,来进行计算。
T分布的形状计算
我们的目的是要证明
首先综合正态分布和卡方分布的概率密度函数,可得
为了满足T分布的定义式,需要有如下约束
则有如下偏导数关系成立
此时,考虑下式总是成立
我们将约束关系代入原式, 式,并乘以雅可比行列式系数,可得
对 积分可得
使用变量代换 ,可得
不难发现,最后一项为 函数,因此
计算完毕。
T分布的归一化系数
为了求得归一化系数,我们使用变量代换 ,可知
代入 的函数形状表达式 ,可得
经过简单的推导,以上积分式可以简化为下式的形式
其中, 代表Beta函数[1]。
Beta函数与Gamma函数,有如下关系
因此,归一化系数等于
证明完毕。
累。
参考资料
Beta函数: https://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html
作者介绍