概然而非必然的世界（之六）

概然而非必然的世界（之六）

本文将解决上篇文章所遗留的待证明问题。

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• 概然而非必然的世界（之六）
• 一些必要的证明

  • Gamma 函数
  • 卡文分布的概率密度函数

    • 卡方分布的形状计算
    • 卡方分布的归一化系数计算
  • T分布的概率函数

    • T分布的形状计算
    • T分布的归一化系数

一些必要的证明

Gamma 函数

函数是一个广义积分函数

其中， 。 但是为了避免问题变得过于复杂，我们只考虑实数域的问题。

通过积分的计算，我们不难得出一些有意思的性质

因此，

其中， 。

这个等式可以用于计算正态分布的累积积分，由于

这其实就简单地解决了“正态分布”概率密度函数的积分为 的问题。

卡文分布的概率密度函数

卡方分布变量的表达式为

其中， ，且相互独立。

卡方分布的概率密度函数为

其中， 。

为了证明这件事情，我们需要分两步来进行。

• 首先，计算出卡方分布的形状；
• 之后，计算归一化系数，即可。

卡方分布的形状计算

由于卡方分布中，存在 个服从正态分布的随机变量，且它们相互独立，可知它们的联合分布有如下关系

这里就需要一点想象力，我们可以把卡方分布的概率密度函数，想象成高维（ 维）空间中球的表面，我们使用 来表示该球体的半径。 则该“球”的体积可以用于表示该分布的累积函数

其中， 代表球体。 积分微元 与半径 之间满足如下关系

代入累积函数，可得

对 进行偏微分，可得

进行变量代换 ，可得

即

当然，希望读者能理解，为了简化推导，我在推导过程中“自动地”消去了常数项。 这样做是不影响正比例关系的。

卡方分布的归一化系数计算

既然，我们已经计算得到了卡方分布概率密度函数的形状。 下一步只需要计算归一化系数 ，使其满足下式即可

其中， 。

为了求得 的值，我们从八秆子打不着的 函数开始。

令 ，可得

再做代换 ，可得

该方程左侧即为待求系数 。

至此，卡方分布的概率密度函数证明完毕。

T分布的概率函数

T分布表达式为

其中， , 。 记为 。

T分布的概率密度函数为

我们同样采用两步法，来进行计算。

T分布的形状计算

我们的目的是要证明

首先综合正态分布和卡方分布的概率密度函数，可得

为了满足T分布的定义式，需要有如下约束

则有如下偏导数关系成立

此时，考虑下式总是成立

我们将约束关系代入原式， 式，并乘以雅可比行列式系数，可得

对 积分可得

使用变量代换 ，可得

不难发现，最后一项为 函数，因此

计算完毕。

T分布的归一化系数

为了求得归一化系数，我们使用变量代换 ，可知

代入 的函数形状表达式 ，可得

经过简单的推导，以上积分式可以简化为下式的形式

其中， 代表Beta函数^[1]。

Beta函数与Gamma函数，有如下关系

因此，归一化系数等于

证明完毕。

累。

参考资料

[1]

Beta函数: https://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html