概然而非必然的世界（之六）

本文将解决上篇文章所遗留的待证明问题。

概然而非必然的世界（之六）
一些必要的证明

一些必要的证明

Gamma 函数

函数是一个广义积分函数

其中，。但是为了避免问题变得过于复杂，我们只考虑实数域的问题。

通过积分的计算，我们不难得出一些有意思的性质

因此，

其中，。

这个等式可以用于计算正态分布的累积积分，由于

这其实就简单地解决了“正态分布”概率密度函数的积分为的问题。

卡文分布的概率密度函数

卡方分布变量的表达式为

其中，，且相互独立。

卡方分布的概率密度函数为

其中，。

为了证明这件事情，我们需要分两步来进行。

首先，计算出卡方分布的形状；
之后，计算归一化系数，即可。

卡方分布的形状计算

由于卡方分布中，存在个服从正态分布的随机变量，且它们相互独立，可知它们的联合分布有如下关系

这里就需要一点想象力，我们可以把卡方分布的概率密度函数，想象成高维（维）空间中球的表面，我们使用来表示该球体的半径。则该“球”的体积可以用于表示该分布的累积函数

其中，代表球体。积分微元与半径之间满足如下关系

代入累积函数，可得

对进行偏微分，可得

进行变量代换，可得

即

当然，希望读者能理解，为了简化推导，我在推导过程中“自动地”消去了常数项。这样做是不影响正比例关系的。

卡方分布的归一化系数计算

既然，我们已经计算得到了卡方分布概率密度函数的形状。下一步只需要计算归一化系数，使其满足下式即可

其中，。

为了求得的值，我们从八秆子打不着的函数开始。

令，可得

再做代换，可得

该方程左侧即为待求系数。

至此，卡方分布的概率密度函数证明完毕。

T分布的概率函数

T分布表达式为

其中， , 。记为。

T分布的概率密度函数为

我们同样采用两步法，来进行计算。

T分布的形状计算

我们的目的是要证明

首先综合正态分布和卡方分布的概率密度函数，可得

为了满足T分布的定义式，需要有如下约束

则有如下偏导数关系成立

此时，考虑下式总是成立

我们将约束关系代入原式，式，并乘以雅可比行列式系数，可得

对积分可得

使用变量代换，可得

不难发现，最后一项为函数，因此

计算完毕。

T分布的归一化系数

为了求得归一化系数，我们使用变量代换，可知

代入的函数形状表达式，可得

经过简单的推导，以上积分式可以简化为下式的形式

其中，代表Beta函数^[1]。

Beta函数与Gamma函数，有如下关系

因此，归一化系数等于

证明完毕。

累。

参考资料

[1]

Beta函数: https://mathworld.wolfram.com/BetaFunction.html