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墨滴

海轰

2021/10/12  阅读:36  主题:蔷薇紫

公众号-机器学习

前言

机器学习|数学基础|线性代数

Mathematics for Machine Learning

扎实基础 循序渐进!

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5.4 对称矩阵的对角化

定理5

对称阵的特征值为实数

定理6

是对称阵 的两个特征值, 是对应的特征向量。若 ,则 正交

证明

因为 是对称阵 的两个特征值, 是对应的特征向量

所以,有

因为 对称 所以

那么

因为

所以

正交

定理7

阶对称阵,则必有正交阵 ,使 ,其中 是以 个特征值为对角元的对角阵

正交阵:如果 ,那么 就是正交阵 正交阵中

推论

阶矩阵, 的特征方程的 重根,则矩阵 的秩 ,从而对应特征值 恰好有 个线性无关的特征向量

举例

例12

,求一个正交阵 ,使得 为对角阵

解答

解得A的特征值为

对应 ,解方程

得基础解系

进行单位化,得

对应 ,解方程

得基础解系

正交化

再将 单位化,得

构成正交矩阵

例13

,求

解答

因为 是实数对称阵,所以 可对角化

阶实对称矩阵 必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值

所以存在正交矩阵P、对角阵 使得

也就是说求 ,需要先求出


得到A的特征值

得到


对应 ,有

得基础解系

对应 ,有

得到基础解系

可得正交阵P


综上

结语

说明:

  • 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
  • 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助,如有错误欢迎小伙伴指正~

海轰

2021/10/12  阅读:36  主题:蔷薇紫

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海轰