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2021/09/22  阅读:33  主题:默认主题

应用随机过程0304

前言

迄今为止,本公众号最受欢迎的笔记为《应用随机过程学习笔记》,与教材相比,它虽然将一些推导步骤进行了详细说明,但其中不乏错漏与冗余。故特此修正,对部分内容或修改或删除,便于学习者对照查看。

摘要

本文对应用随机过程中的Poisson过程和更新过程进行了介绍,二者均为计数过程,后者可视为前者的一般化。

PDF 版本请使用浏览器打开本文章,再使用网页打印即可获取。
注:建议在横屏和非深色模式下查看;行间公式可左右滑动。

目录

  • 3 Poisson过程
    • 3.1 Poisson过程的概念
    • 3.2 与Poisson过程相联系的若干分布
    • 3.3 Poisson过程的推广
  • 4 更新过程
    • 4.1 更新过程定义及其若干分布
    • 4.2 更新方程及其应用
    • 4.3 更新定理

3 Poisson过程

3.1 Poisson过程的概念

  1. 复习:
  • (1) Poisson分布:若 ,则
  • (2) Poisson分布的数字特征:
  • (3) Poisson分布可以由二项分布近似:如果 ,则

证明:

进而


  1. 计数过程的定义:随机过程 称为计数过程,如果 表示从 某一特定事件 发生的次数,并具备
  • (1)
  • (2) 时, ,且 表示在 时间内事件 发生的次数.

  1. Poisson过程的定义:计数过程 称为参数为 的Poisson过程,如果
  • (1)
  • (2) 过程有独立增量;
  • (3) 对任意的 ,有 ,即

强度或速率:由于 ,可以认为 是单位时间内发生的事件的平均次数,称 为Poisson过程的强度或速率.(实际应用中注意时间单位


  1. Poisson过程的另一种等价定义:计数过程 称为参数为 的Poisson过程,如果
  • (1)
  • (2) 过程有平稳独立增量;
  • (3) 存在 ,当 时,在 内事件发生1次的概率
  • (4) 当 时,在 内事件发生2次以上的概率

等价定义的含义:把 划分为 个相等的时间区间,则当 时,事件在每个小区间内发生2次以上的概率趋于0,事件发生一次的概率 ,显然 很小,而事件不发生的概率为 ,这恰好是一次Bernoulli试验.


  1. 定理:上述两定义是等价的,即满足等价定义的计数过程一定是Poisson过程(满足原始定义),反之,Poisson过程一定满足等价定义.

证明:由原始定义的(3)易得原始定义 等价定义.下面证明等价定义 原始定义,记

由于事件

和独立增量性,有

所以

可以得到微分方程

解之,得

时,应用全概率公式和独立增量性,可得 3.1 3.1

那么

可以得到递推关系

用数学归纳法容易得到


  1. Poisson过程的一种变式:事件 的发生强度为 ,但每次发生只能以概率 记录下来(发生和记录独立),以 表示到 时刻被记录下来的事件总数,则 是一个强度为 的Poisson过程.

3.2 与Poisson过程相联系的若干分布

  1. 经验分布函数: 它的跃度是 ,其中示性函数

  1. Poisson过程的样本路径是跃度为1的阶梯函数:
3.2
3.2

  1. 相互独立,且服从参数为 的指数分布,概率密度是 均值 ,方差

  1. 服从参数为 分布,概率密度是 均值 ,方差

  1. Poisson过程的又一等价定义:计数过程 称为参数为 的Poisson过程,如果每次事件发生的时间间隔 相互独立,且服从参数为 的指数分布.

  1. 一次事件发生时刻的条件分布:已知 内事件 只发生1次的条件下, 发生的时刻在 上是均匀分布,即

证明:


  1. 次事件发生时刻的条件分布:在已知 的条件下,事件发生的 个时刻 的联合密度是(均匀分布)

注:由于该分布恰好是在 区间上服从均匀分布的 个相互独立的随机变量 的顺序统计量 的联合分布.所以,在已知 内发生了 次事件的前提下,各次事件发生的时刻 (不排序)可以看作是相互独立的、且服从 上均匀分布的随机变量.

证明:设 ,取 充分小,使得 ,其中 3.3 3.3 于是,有