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墨滴

傲天居士

2021/07/05  阅读:19  主题:默认主题

它山之石可以攻玉

1. 养兵千日

三角函数与数列,两个似乎毫不相关的领域,能出现什么火花?首先考虑一下这样一个连根式:

我们记

则有:

因此有:

我们知道余弦的二倍角公式:

,则可以记 , 从而 . 由于 因此由递推公式可以得出:

2. 用兵一时

接下来我们看一下一道经典题目。这是某一届的熊赛试题,由于我没有官方答案,给出了自己的解答。用到了上面巧妙的构造技巧。

2.1 题目

求解:

2.2 解析

我们记

则由第一部分的分析可知:

因此:

这里用到了Stolz 定理,接下来会补充这个定理。

2.3 Stolz 定理

设数列 满足:

  1. 严格单调递增
  2. , 其中 可以为有限实数、

设数列 满足:

  1. 严格单调递减且趋于零
  2. (其中 可以为有限实数、

本题中,由于

, 且 严格递减趋于0,因此可以使用Stolz 定理。

傲天居士

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