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墨滴

天下一家

2021/08/28  阅读:39  主题:默认主题

万有引力问题深度解析(二)

万有引力问题深度解析(二)

天体绕中心天体的圆周运动

当环绕中心天体运动的天体或卫星的质量远小于中心天体的质量时,中心天体加速度很小,选择中心天体为参考系,可以近似视为惯性系。

若天体或卫星绕中心天体做圆周运动,则万有引力充当向心力

结合圆周运动规律,此问题所涉及的五组量:中心天体质量 、轨道半径 、线速度 、角速度 /周期 、向心加速度 ,知二得五。

需要注意的是,运动天体或卫星本身的质量 会被消去,因而运动天体或卫星绕中心天体的运动与它自身质量无关。反之,也不能通过其运动求出它的质量。

一定四定 越远越慢

对于给定的中心天体( 确定),绕它做圆周运动的天体,只要轨道半径 确定,其角速度大小、线速度大小、向心加速度大小、周期,四个量也都确定

而且,可以看出,随 增大(轨道离中心天体越远), 减小(运动越慢), 减小(转动越慢), 减小(速度变化越慢), 增大(转动越慢)。

这一组规律可以被归纳为:一定四定、越远越慢

计算中心天体质量

通过天体或卫星绕中心天体的圆周运动的两个独立运动学量,就能求出中心天体的质量。

若已知线速度和半径,由

解得

若已知周期和半径,由

解得

由此可得开普勒第三定律(周期定律)中的常数 ,这个常数仅与中心天体的质量 有关。

考虑到开普勒第三定律对椭圆轨道也成立,因此若天体绕中心天体做椭圆轨道的半长轴 和周期 已知,则中心天体的质量为

若已知线速度和周期,则因 ,有 ,故

无自转球形匀质天体

对于任意给定的无自转匀质球星天体,涉及五组量:天体质量 、天体半径 、天体密度 /天体近地卫星周期 、天体表面重力加速度 、天体的第一宇宙速度 /第二宇宙速度 .

它们之间满足如下三个规律

重力等于万有引力

因而 .

万有引力提供近地卫星做圆周运动的向心力

结合第一点,也即

密度定理

因为求的体积是 ,故

利用这三个规律,这五组量也是知二得五

密度与近地卫星周期之间的关系

首先,由

同时

两式相比可消去 ,得到

这说明周期 和密度 任意知道其中一个,就能求出另外一个。

第一宇宙速度与第二宇宙速度

所谓第一宇宙速度,是指从该天体表面发射卫星,使其不落回地面所需的最小速度;也即该天体的近地卫星的线速度。

同时,由

而第二宇宙速度,是指从该天体表面发射卫星,使它能够摆脱天体引力所需的最小速度。也就是使卫星能到达距离天体无穷远处所需的发射速度。

要让卫星能到达距离天体无穷远处,则它在无穷远处的动能不小于零。而相距无穷远时,引力势能为零,于是

于是,第二宇宙速度为

因此,匀质球形天体的第二宇宙速度恰是第一宇宙速度的 倍。

天体的质量

若已知天体的重力加速度和半径,则

于是

若已知重力加速度和第一宇宙速度,则由 ,因此

若已知重力加速度和近地卫星周期,则由 ,于是

此外,近地卫星也是仅在万有引力作用下绕该天体做圆周运动的;因此

天体的密度

首先,只要知道匀质球形天体的近地卫星周期,就能求出其密度

另外, 中任意知道两个,也都能求出 (知二得五)。

例如,若已知 ,则可以先求出质量

再根据 ,可得

自转球形匀质天体

严格地讲,如果有自转,天体就会因自转而变成两极部分略扁的椭球,像地球一样。然而,作为一个模型,对它进行研究还是能够得到一些有意义的结果。

首先,有自转匀质球形天体仍然是匀质球形天体。关于关于无自转匀质球形天体的全部结论对于有自转匀质球形天体同样成立。

只是需要注意,有自转时天体的表面没有一个统一的重力加速度,运用相关公式时,若出现加速度,需要用两极处的重力加速度。

即,五组量:天体质量 、天体半径 、天体密度 /天体近地卫星周期 、天体表面两极处重力加速度 、天体的第一宇宙速度 /第二宇宙速度 ,知二得五。

自转对重力加速度的影响

设纬度为 处有一个物体处于水平地面上,相对地面静止。

从地面参考系中看,它受重力和支持力处于静止状态,因此有

但是,从太空中看,它并不静止;而它实际受到的力其实是万有引力和支持力。

如图所示,万有引力和支持力的合力作用下,物体其实是随地球一起以地球的自转角速度 ,沿半径为 的纬线做匀速圆周运动,因此向心力

它就是万有引力和支持力的合力,由余弦定理

而两极处,仍满足万有引力等于重力,故 ,因此

该天体的自转必须满足赤道处物体的向心加速度 不大于两极处重力加速度 ,因此 . 这意味着纬度越高,重力加速度 越大。

赤道处重力加速度是最小的

如果已知天体赤道和两极处的重力加速度,以及该天体的自转角速度,则可以求出该星球的半径为

于是,可以进一步求出该天体的质量为

而天体的密度为

同时 ,对比两式可得

这是自转周期与近地卫星周期之间的关系。

换个角度理解重力

如果选地球为参考系,则因为它是一个转动参考系,在该参考系中,物体额外受到惯性离心力和科里奥利力两个非惯性力。

其中 为物体相对地球表面的速度。

若物体相对地球表面静止,则科里奥利力为零。物体受万有引力、惯性离心力和支持力三个力平衡。

当一般我们认为物体是受重力和支持力平衡,这意味着重力其实就是惯性离心力与万有引力的合力。

若物体在地球表面上相对地面运动,则在地面参考系中,它还会受科里奥利力。科里奥利力的水平分量被称为地转偏向力。

关于椭圆轨道

行星绕太阳运动的轨道实际是椭圆轨道,卫星发射过程中也经常涉及椭圆轨道。

开普勒三定律实际上是可以从万有引力定律结合牛顿运动定律证明的。在这里,我们首先接受开普勒三定律的结论,结合椭圆的一些性质,探讨椭圆轨道运动的一些性质。

椭圆的若干性质

椭圆面积

半长轴为 ,半短轴为 的椭圆,可以通过将半径为 的圆沿某条直径压缩 倍得到。

因此,椭圆的面积为

椭圆在长轴和短轴端点的曲率半径

设一个质点沿椭圆运动,它沿长轴方向的分运动是速度为 的匀速直线运动。以经过半短轴顶点时为即时起点,并以椭圆中心为原点,则

于是, 方向的加速度为

在短半轴端点处,有 ,故

这个加速度就是短半轴端点处的向心加速度,因此

于是,椭圆在短半轴端点处的曲率半径为

同理,设一个质点沿椭圆运动,其在短轴方向的分运动是匀速的。则可以求出椭圆在长半轴端点处的曲率半径为

其实也可以直接用数学方法求解。

如图所示,画出短轴端点处的曲率圆(蓝色)和与它相切且半径为 的圆(红色)。

将红色的圆以图中水平直线为轴压缩 倍即得椭圆。

在该水平直线上取一点 ,其所在竖线于椭圆和红色圆的交点分别记为 , ,则

无限靠近图中切点时,有

同理

同时

因此

又因 ,故

于是

长轴端点处的曲率半径可以用类似的方法求出。

机械能

由开普勒第二定律可得,单位时间内运动天体或卫星与中心天体的连线扫过的面积为

其中 分别为运动天体或卫星在近地点和远地点的速度。

进而周期为

由开普勒第三定律可得

代入解得

单位质量的运动天体或卫星的机械能为

考虑远地点或近地点,有

这意味着单位质量卫星的机械能由轨道半长轴决定。因而,绕同一中心天体运动的两颗卫星若周期相同,则平均每千克卫星的机械能也相同。

利用此结论,还可以求出

进一步可得,单位时间内运动天体或卫星与中心天体连线扫过的面积为

卫星发射与变轨

设地球半径为 ,卫星发射的目标轨道半径为 ,则椭圆轨道近地点的速度为

这个速度称为卫星的发射速度。显然,目标轨道越高,即 越大,则发射速度 越大。

若目标轨道无穷远,则

即为第二宇宙速度,它是第一宇宙速度的 倍。

卫星第一次变轨,机械能从 变为 ,因而发动机需要做功

而第二次变轨,机械能从 变为 ,因而发动机需要做功

除了发动机先后喷射加速变轨外,还可以通过向轨道内侧喷射向外变轨,这样的得到的新轨道与原来的轨道相交。

设卫星原来处于半径为 的圆轨道,其发动机向轨道内侧喷射,获得向外的速度 ;则因为轴向分速度不变,单位时间内卫星与地心连线扫过的面积不变

因此

这就是新轨道的半短轴。

,因此

这就是新轨道的半长轴。

如图所示,因为 ,变轨点处与中心天体的连线恰好与新轨道的长轴垂直。

卫星对接

如图所示,在同一轨道(红色)上,一前一后(红前黄后)有两颗卫星。若后面的卫星加速,则它会向外变轨(黄色),无法追上原来轨道上的卫星。

因此,实际上后面的卫星是首先减速向内变轨(紫色),变轨后在紫色轨道上,引力势能转化为动能,卫星加速;到达某个位置后,再次加速变轨(蓝色),变轨后在蓝色轨道上,动能转化为引力势能,卫星减速;直到追上前面的卫星。

为追上前面的卫星反而先减速看起来有点反常识。但,第一,后面这个卫星减速向内变轨相当于抄近路;第二,虽然变轨时减速了,但之后又会加速,就全过程而言,其平均速率比前面的卫星其实更大。

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