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墨滴

精益修身

2021/06/14  阅读:24  主题:橙心

DSGE入门之一

第一章 索洛模型

1.1 基本模型

  1. 生产函数

    假设经济体中只有一种产品,其生产函数为:

其中, 是t期的产量, 是技术水平, 是资本存量, 是劳动投入量。 常见假设:

  1. 人均形式
  1. 资本的增长方程
  1. 人均资本的增长方程
  1. 储蓄方程
  1. 封闭经济的资本市场
  1. 由上推出
  1. 稳态下的解

稳态下,

  1. 稳态

0稳态,正稳态。

只要初始资本 ,经济一定收敛到正稳态。

  1. 正稳态的稳态条件
  1. 索洛模型的结论 如果所有国家都使用相同的技术,且拥有相同的储蓄率,那么所有国家都会收敛到相同的人均资本存量水平和人均产出水平,且贫穷国家的增长速度更快。

1.2 技术进步

  1. 平衡增长(Balanced growth path, BGP) 假设生产函数是柯布道格拉斯形式的,则人均的生产函数形式为: 是资本收入占产出的份额。如果将初始技术水平标准化为1,则技术增长率的差分方程为:

    整理可得,

因此增长率 必须满足:

进而产出的增长率为:

由上可知,只要技术进步率为常数,人均资本存量增长率和人均产出增长率就是相同的,经济体就会收敛到GBP(平衡增长)。

1.3 随机索洛模型

  1. 技术进步的随机过程

假定技术进步的动态过程是机械的(mechanical),意味着技术冲击不影响储蓄决策,因此储蓄率是一个常数。

方程两边同时除以 ,方程左侧即增长率 。取对数后,重新这里如下:

  1. 如果生产函数是柯布道格拉斯形式的,人均生产函数为 ,则1.3式变为:

其中,常数

由上式可知,人均资本存量的增长率 的方差,取决于人均资本存量的水平 ,以及冲击 的方差。

1.4 对数线性的索洛模型

  1. 对数差分定义为: 其中, 是t时期的值, 是静态值。根据定义式,可以解出 为:
  2. 都接近于0时,下列一阶近似法则也是很常用的。

1.4.1 资本

  1. 首先考虑随机的、Cobb-Douglas技术的、无技术进步的Solow 模型,其一阶随机差分 方程为

替换成 ,得到

  1. 合并同类项得到:

其中:

  1. (1.4)式的递归形式 这样就得到了1.4式的递归形式 因为人均资本有点儿类似白噪声过程,均值为0,所以有方差等于平方项的期望。 如果各期的技术冲击是独立的,即 ,则上式中所有的交叉项都为0,因此 由级数的求和公式知 ,因此上式可进一步化简为 其中,

1.4.2 产出

生产函数的对数线性形式

在稳态附近的技术冲击,即将 替换成 ,得到

应用近似法则:

移除稳态项

由于 ,上式可以简化为:

由1.5式可知当期的 是独立的, 只与以前的 等相关。如果 是一个白噪声过程, 也是类似的过程,因此

代入书中的参数值,得到 ,由此式子可知,资本存量的方差很小,产出的方差几乎技术冲击的方差相等。从这个模型,我们看到冲击的延续时间很短,t期的技术冲击只能解释t+1期产出的1.23%。这个索洛模型既没有很好地解释产出的方差,也没有解释产出冲击的持久性。

参考文献

  1. 麦坎德利斯(McCandless, G.). RBC之ABC: 动态宏观经济模型入门[M]. 大连: 东北财经大学出版社, 2011

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