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2021/10/18  阅读:31  主题:默认主题

应用随机过程09

前言

迄今为止,本公众号最受欢迎的笔记为《应用随机过程学习笔记》,与教材相比,它虽然将一些推导步骤进行了详细说明,但其中不乏错漏与冗余。故特此修正,对部分内容或修改或删除,便于学习者对照查看。

摘要

本文主要介绍随机过程在金融中的应用之一——Black-Scholes模型。首先从基本的金融术语开始,使用随机积分和测度变换的方法对Black-Scholes公式进行了推导。

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注:建议在横屏和非深色模式下查看;行间公式可左右滑动。

目录

  • 9 随机过程在金融中的应用
    • 9.1 金融市场的术语与基本假定
    • 9.2 Black-Scholes模型

9.1 金融市场的术语与基本假定

  1. 套利:开始时无资本,经过资本市场的运作之后,变成非负的随机资金,而且有正的资金的概率为正.

  1. 无套利原则:市场不允许存在没有初始投资的无风险利润.

  1. 看涨期权:在时刻0买方与卖方的一个合约,它规定买方有一项权利,能在时刻 (到期日)以价格 (执行价)从卖方购进某种有风险的标的资产(一般假设为股票).

  1. 看涨期权在时刻 的现金流:(股票 时刻的市场价格为

  1. 期权的类型:(具体略)
  • (1) 看涨期权与看跌期权;
  • (2) 欧式期权与美式期权.
  1. 无套利原则下的看涨与看跌平权关系:假设看涨期权、看跌期权、远期合约在任意时刻 的价格分别为 ,在无套利原则下,有 其中 为执行价格, 为无风险利率.

证明:构建下面组合A和组合B

  • (1) 组合A:1个看涨期权、现在 的现金;
  • (2) 组合B:1个看跌期权、现在1股股票.

时刻,组合A的价值为 ,组合B的价值为 ,在无套利原则下,组合A和B的价值应该相等,这就是期权买卖权的平价关系(Pull-Call Parity).


  1. 买卖权平价关系的意义:欧式看涨期权和看跌期权中只要知道一个的价格,就可以得到另一个的价格。特别地,对欧式期权,平权关系还可以写成 即表示持有以下两个组合是等价的:
  • (1) 组合A:1个欧式看涨期权、 时刻到期的 的银行存款;
  • (2) 组合B:1个欧式看跌期权、 时刻到期且交割价格为 的远期合约.

9.2 Black-Scholes模型

  1. 期权定价的历史:
  • (1) 1900年,Bachelier首次用随机游走的思想给出股票价格的随机模型;
  • (2) 1942年,Itô对Brown运动引入随机积分,开创随机微分方程理论;
  • (3) 1965年,Samuelson将随机分析学引入金融学,首次用几何Brown运动描述股票价格变动,但他给出的结果依赖于投资者的个人风险偏好;
  • (4) 1973年,Black和Scholes修正了Samuelson的结果.

  1. Black-Scholes模型基本假设:
  • (1) 市场不存在无风险的套利机会;
  • (2) 期权是欧式的,即只能在到期日行权;
  • (3) 市场无摩擦,不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割;
  • (4) 无风险利率已知且为常数,投资者可以用无风险利率自由借贷;
  • (5) 股票不发放股利,也不作其他任何形式的利润分配;
  • (6) 对卖空没有限制;
  • (7) 交易时间及价格连续变化.

  1. Black-Scholes模型基本元素:
  • (1) 风险资产的价格变动:设股票在 时刻的价格为 ,它的变动满足

    其中,常数 表示风险资产的平均回报率;常数 ,表示风险资产的波动率; 是概率测度 下的标准Brown运动; 为期权的到期日.

    该随机微分方程的解是几何Brown运动:

证明:由

两边同时积分,得

用Itô公式,得

因此

那么

  • (2) 无风险资产的价格变动: 其中,常数 为无风险利率.这是一个常微分方程,容易解得
  • (3) 在 时刻,用数量为 的风险资产和数量为 的无风险资产构造投资组合 ,该组合的价值为
  • (4) 组合的价值变动:假定投资组合是自融资的,即财富的增量仅由组合中 的变动引起,即

  1. Black-Scholes偏微分方程的推导:

寻找一个自融资策略 ,使得持有该组合相当于持有一个欧式看涨期权,且有

其中 为待求的光滑函数,

时刻,根据市场是无套利的假设,投资组合在 时刻的价值 时刻的现金流 ,则可以得到一个终端条件:

,则 已知 满足 一方面,对价值过程 用Itô引理

另一方面,因为

所以

比较 的表达式,可知

于是

整理得到偏微分方程

其中 .或表示为

并且有终端条件 ,即


  1. 这个偏微分方程的解为

其中 是标准正态分布的分布函数.即

这就是Black-Scholes期权定价公式,它与平均回报率 无关,与风险资产的波动率 有关.


  1. 使得组合价值运动与期权价值运动等价的自融资策略 为:

等价鞅测度方法是Harrison和Kreos再1979年提出的,解决期权定价问题的新方法.

  1. 概率测度的绝对连续:令 是定义在 代数 上的两个概率测度,若存在一个非负函数 ,使得 则称 为概率测度 关于概率测度 的密度,且称概率测度