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墨滴

但愿海波平

2021/04/19  阅读:54  主题:前端之巅同款

中值定理那些事

关于微分中值定理的那些事 值法篇


  • 第一作者:中央财经大学 邓智昊
  • 校:大学求道主编 彭亦鏐
  • 编者按:微分中值定理是我们常见证明题的题源模块,从期末考试到考研竞赛,微分中值定理都以其难想到、高难度在各类考试当中占据了一席之位。从本文开始,我们将持续刊登邓智昊为第一作者,彭亦鏐审校的系列文章《关于微分中值定理的那些事》。希望这篇文章能给您启示。
  • 联系方式:微信公众号后台留言。

1.定义

若一个微分中值等式满足:

.可分离的中值等式:等式一端是只与区间端点 及其函数值、导数值有关的常数,另一端只含导函数和函数在区间内某点(中值点)的值,则称该中值等式是可分离的.

.对称式:如果把式中 换作 时,原式呈 形式,则称中值等式为对称式。如中值等式:

事实上,对称式在变换后常常可变为前面说到的可分离的中值等式,例如对本式而言,把 换为 ,两端均为零,且恒等变换后:
则其为可分离的中值等式.

2.基本解题思路与步骤

如果一个需要证明的中值等式可以改写转换成可分离的等式和可对称的等式,则可以统一按下述步骤证明:

  • 把原式改写转换成分离形式,令等式一端的常数等于
  • 再把原式化为对称式,把含有中值的导数式换为 ,把变量换为 ,再将右端移于左端,令所得的式子为辅助函数 ;
  • 的取法及 构造可知,必有 ,于是对 应用罗尔中值定理知,存在 使得
  • 若原式中含有二阶导数,可由 解出K后,再用一次中值定理(罗尔、拉格朗日或柯西中值定理、泰勒中值定理),就可得到欲证的结果,若含有在中值点处的更高阶的导数,可仿此继续,直到所要的结果。

以上证明思路与过程就称为常数 值法.

例题分析

【例1】 上连续,在 内可导. 求证:至少存在一点 ,使得

分析:观察式子,左端是只与端点 及其函数、导数值有关的常数,右端只含导数和函数在某点的值,故可采用常数K值法破解. 令:

再将 化为对称式: 所以可令辅助函数为:

证明:令

作辅助函数 故由罗尔定理知 ,使得: 即: 证毕

【例2】 求证:若 上连续,在 内二次可微, 则 ,使得:

分析:先将式子变形,令一端为常数,即:

所以结合K值法,令

化为对称式,即:

构造:

,所以由罗尔定理知,存在 ,使得:

即:

再对上式使用柯西中值定理,可知存在 使得 :

从而有:

即:

即:

证毕.

经典习题

1.设 上具有连续的二阶导数,求证: ,使得

2.设 上二阶可导,求证:至少存在 一点,使得

3.设 上连续,在 内二阶可导,求证: ,使得,

4.设 上存在三阶导数,证明:存在 ,使得,

5.设 上二阶可导,证明:对于 ,存在 ,使得

6.设函数 上可导,若,证明:存在,使得

7.设有实数 ,其中 ,函数 上有n阶导数,并满足 ,证明:对任意的 ,都相应的有 ,使得,


上面7个小题均可用同一种方法证明,即 值法,下面证明1,7,其余均可类似证明。

,所以由罗尔定理知,存在一点 ,使得 , 又

所以

处将泰勒展开,并令 , 使得

其中 ,比较①②,得 ,所以存在 ,使得

7.解:当 时,结论显然成立; 当 时,令

且:

用n次罗尔定理知,存在 ,使得 ,即 ,所以命题成立.

但愿海波平

2021/04/19  阅读:54  主题:前端之巅同款

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但愿海波平