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墨滴

我心永恆

2021/08/27  阅读:72  主题:Obsidian

波函数和薛定谔方程

一 波函数

1 从轨道到概率

薛定谔方程:

说明: 是波函数,m是粒子的质量, 是粒子的势能

波函数 的物理意义是什么呢?

  • 薛定谔观点 波函数就是通常意义上的经典波

  • 波尔观点 表征 t 时刻粒子在空间 处单位体积中出现的概率,也就是 概率密度

  • 波恩观点 粒子的运动遵守概率定律,但概率本身还是受因果律支配

    引入哈密顿算符:

​ 薛定谔方程可以改写成:

设t=0 时刻体系的波函数为 ,由于哈密顿算符不含时间,则系统演化时间 之后,可以得出:(解法后面说)

​ 这个式子描述了波函数从 的演化

​ 这个演化是一个因果关系,靠的是

​ 这就是量子力学的时间演化算符

2 波函数的性质

(1)波函数的说明

我们可以概念性地(不是真实的图像)作出一个波函数:

image-20210825154241116 image-20210825154259853 是归一化的波函数。波函数必须被归一化,这是波函数统计解释的需要

归一化表明波函数是平方可积的,那么就要求:

【例】已知 都是已知常数,求A

solution:

按照归一化的条件: 就有:

归一化常数的位相没有物理意义,所以此刻就取他的实数值:

所以就有:

问题:

由薛定谔方程解出的波函数是否随着时间 t 演化都是归一的呢?

证明:

取共轭就有:

将薛定谔方程和薛定谔方程的共轭带入

就有:

继续将上面的式子带入

右边,完成积分后就有:

image-20210825163314418
image-20210825163314418

从上面的式子中可以看到对时间的积分是0,所以就有 是不依赖于时间的常数,意味着如果在t=0时刻是归一化的,那么在任意时刻的 也是归一化的,也就是说:

这个有什么意义吗?

考虑氢原子中的电子,假定初始时刻电子处在基态,**演化到任意时刻,**它可能仍处在基态或跃迁到某个激发态。但不管是处在什么状态,在电子运动的整个空间总能找到这个电子,它出现的总概率为1

(2)连续性方程

继续讨论:

我们令:

那么式子

通过 移项,带入 可以变成:

这个就是所谓的 连续性方程。

其中 是粒子的 概率密度 代表 概率流密度

由于 都是连续的,所以波函数 在其变化的全部区域都是 有限的连续的

由于 代表粒子出现的概率,所以他是坐标和时间的函数,这样才能让粒子的概率在时空(x,t)取单一的确定的值

波函数的标准条件:连续性,有限性,单值性

(3)波函数的其他特性

波函数的物理意义是通过概率密度 来表达的,在确保 不变的情况下,波函数 可以乘以一个任意的相位因子 ,两者的概率相同:

(4)例题

设t=0时,微观粒子的波函数为:

其中A是归一化常数

(1)计算A,写出归一化波函数

(2)画出波函数 和概率密度 随x变化的曲线

(3)计算粒子在 区域内出现的概率。

2 力学量的平均值和期待值

既然 是粒子在空间出现的概率密度,它就是一个通常所谓的**“分布函数”,**我们可以用它来求力学量F(x)在空间的平均值。

动量p=mv所以就有:

下面来求 的具体表达式:

然后利用分部积分

image-20210825170916661
image-20210825170916661

然后再进行一次分部积分法: image-20210825171129528

最后可以得到

其中:

被称为动量算符,用符号

表示

从式子 还可以得出一个结论就是:

如果一个微观粒子的坐标平均值为 不依赖于时间的 常数,则该粒子的动量期待值为常数

【例1】对于下面的波函数

计算平均值 和期待值

solution:

期待值 的结构还能用上面的结论得出:如果一个微观粒子的坐标平均值为 不依赖于时间的 常数,则该粒子的动量期待值为常数

【例2】对于一个动量为p,势能为V(x)的微观粒子,证明牛顿力学的基本方程

依然成立,其中 是动量期待值,而 是力函数:

证明:过程较长,需要耐心

等式左边是动量算符直接对t求导,右边是先对x求导然后求平均,这个结果表明:在量子体系中力学量的期待值的变化遵从经典定律,

这个叫做 埃伦费斯特定理,这个定理意味着:由量子行为向经典退化的一个途径是取力学量的期待值

solution:

首先写出动量的期待值:

和 力函数的期待值:

再写出 薛定谔方程 和 共轭薛定谔方程

对时间 t 求导,得到:

利用分部积分法对上面式子的 右边 的 第二个积分,那么就可以得到:

然后将薛定谔方程和共轭薛定谔方程带入可以得到:

对上面的最后一个继续进行分部积分:

利用:

最终可以得到:

二 薛定谔方程

1 自由粒子的波函数