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墨滴

毕小喵

2021/04/09  阅读:66  主题:极客黑

Abaqus理论文档-2 变形,应变与应力率

Abaqus 理论文档-2

变形,应变与应力率

介绍

前面我们一起学习了Abaqus理论文档第一篇的第一节,Notation and finite rotations。其中Notation一页我们用了7篇推送讲完。Rotation部分略过。

从这一节开始,进入Abaqus理论文档的第二部分,变形,应变与应力率。首先是变形度量。

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让我们开始吧~

变形

变形 deformation,描述了由于外力或温度的变化引起的物体形状的变化。

在任何结构问题中,分析人员给出结构的初始形状,并对其在整个加载历史中的变形情况感兴趣。最初位于空间中某个位置 的物质粒子将移动到新的位置 :我们假设物质不会凭空出现或消失,因此在 之间会有一个双射(一一映射,一个 对应一个 )。我们总能写出一个粒子的位置历史:

而 这个关系反过来也成立——当我们已知 ,就能知道 。现在我们考虑两个相邻的粒子,初始构型中分别位于 。则在当前构型中,有:

使用"映射"方程(1) ,矩阵

称为变形梯度矩阵(或变形梯度张量)。因此方程 (2) 可以写为

由于材料的性能取决于材料的应变,而跟它的刚体运动没啥关系,所以变形梯度张量里和运动有关的那部分必须加以区分。咋区分呢?我们可以测量点 附近的一小段 的初始长度和当前长度,如下:

由此得到这个微段的“拉伸率” stretch ratio为:

好的,如果 ,我们就知道这一小段材料不存在应变——它只经历了刚体运动。那么,用式(4),

再用方程(5)$,

其中 方向上的单位向量。

公式 (6) 显示了如何测量任意一点 在任意方向 上的伸长率。当我们固定在一点 不动,改变 的方向并考察伸长率 的时候,能得到一些有用的结果。由于 必定是个单位向量,我们可以通过求解约束变分方程来得到伸长率 的极值:

其中 是个拉格朗日乘子,为了将 约束为单位值而引入

求解上面的变分方程。它里面一共俩变量,一个是 另一个是 嘛。关于 我们能得到上式的约束;而关于 ,可以给出:

有没有看出啥门道来?没看出来没关系,回头去对比看看方程(6)。

把方程(7) 的点积展开,和方程(6)对比,可以发现:这个拉格朗日乘子 ,它就是伸长率平方 啊!

因此,方程(7)可以改写为

在这里暂停一下。看看方程 (8) ,它是个特征值问题。为啥突然就变成一个特征值问题了? 是个巧合吗?

——其实不是的。看看方程(6) ,我们得到了拉伸率的表达式以后,想要知道在什么情况下伸长率会取极值。因此才要列出变分方程。而这个约束变分方程的解本身就回答了 何时取极值的问题。约束变分方程有两个自变量,分别是 ,把它们的解联立自然能得到伸长率取极值的条件。

……不知道我有没有解释明白……看上去像是车轱辘话来回说,但总之求仁得仁,我们求出了伸长率的极值。

方程 (8) 是一个特征值问题,根据定义,它能得到伸长率 的三个极值。由于伸长率 永远是实数且为正, ,因此 也必须是正定的。由此,方程 (8) 给出三个正的实特征值,分别叫它们 ,它们是主伸长率。对应三个相互正交的特征向量 ,是应变的三个主方向

现在,令 是在当前坐标系下对应于 的三个单位向量(当前坐标系习惯上都是小写,参考坐标系都是大写),用式 (4) 可得,

式(4)是这个

这个东西又是哪来的呢?

我们可以回忆一下, 的定义就是变形前后对应某一点沿某方向的伸长率。因此变形前为 的单位向量,根据式 (4),变形后就成了 。现在我们要变形后的单位向量,按定义自然要除以 了。

因此,

根据上述结果, 也是个正交基。因为它们都是单位矢量,所以可以写出:

其中 是相同的纯刚体转动矩阵。纯刚体转动矩阵也是线性代数中的正交阵,具有其逆矩阵等于转置矩阵的性质: 。通过比较当前构型和参考构型的三个主伸长方向,可以分离出刚体旋转和材料的拉伸。这样就把变形和刚体运动区分开了。

那么,在参考构型中,沿 方向的微元 ,在当前构型下应存在 的拉伸。

沿另外两个方向,同样有

由于 是参考构型中的标准正交基向量,因此任何无穷小的微段都可以写成这种分量形式:

其中,

意思就是 沿 的分量啦。

每一段微元 移动并拉伸到对应的 ,如上定义。因此,这一微段当前的长度 ,是:

我们把它写成:

当然,其中的 就是上面的那一坨:

我们把 叫做左拉伸矩阵(左伸长张量……怎么翻译都行啦),注意它是三个基矢量并矢之和,所以它是个张量,在当前坐标的三个主方向上写出分量形式的话,就是个对角矩阵,对角元为三个主伸长率。

与变形梯度的定义 (4) 对比,可以看到

这就是变形梯度张量的左极分解。张量的极分解定理说明,任何变形体的运动都可以被分为一个纯刚体运动和三个正交方向的纯拉伸。极分解定理非常重要,因为通过它我们能从运动中区分出应变部分和刚体转动部分。

具体来说,变形梯度张量 完全定义了位于参考坐标 点周围无穷小邻域内物质的相对运动;左伸长张量 完全定义了 点处材料的变形;旋转张量 定义了主应变方向上的刚体旋转(参考构型中的 ,和当前构型中的 )。

仅仅表示物质在某种平均意义上的刚体转动:在最一般的运动形式中,从物质中一个点出发的每个无穷小微段都可以具有不同的转动。当我们需要讨论非各向同性材料的大变形时,主应变方向的旋转 和材料内每个单独方向的旋转之间的区别会变得非常重要。

我们已经建立了一个重要的结果:如果 ,我们就知道在初始位于 ,当前位于 的直接邻域内的物质没有发生变形,因为这种情况下 因此 。只要我们关心的位置有任何变形,该点处 就必须是非零的。在这个意义上, (或者单独就是 )就足以定义运动中的变形部分(包含该点除了刚体转动以外的全部完整信息)。因为这个原因——为了在后续推导中,我们能将运动学与材料的应力联系起来——我们需要把 分离开。根据变形张量的极分解,可以很容易得到 :

能得到上式是因为 是正交张量, ,且 是对称张量。

根据我们最初的定义 (10), 是用当前构型的主伸长率和主方向描述的:

所以

好,所以我们知道了 的特征值是 ,以及对应的特征向量是 。这下,我们就可以根据 直接构造出 。只需要先计算 然后对这个对称矩阵求它的实特征值,就能很容易地知道这一点处的变形了。然后,我们可以得到旋转张量

由于 是用它的特征向量构造出来的,所以它的逆可以不用求直接写出来:

到目前为止,我们写的这些结果还相当具有一般性,从来都没有参考过某个特定的坐标系。因此这些结果适用于任意类型的坐标系。但为了执行计算,我们还是得选一套顺手的基底,把这些张量展开成分量形式。我们现在讲这些内容的时候,选择的坐标基有一定的通用性。作为一个练习,它可以让你更熟悉本指南中使用的符号系统(包括协变和逆变基矢量)。另外,我们在处理壳单元问题时,也确实需要用到一些一般曲面坐标系。

翻来覆去总是说壳单元,烦不烦啊……这么看来壳单元的大变形有限元分析是真的比较难。

因为壳单元参考表面的自然朝向各有不同,我们会倾向于选择把基矢量的两个轴与壳单元的参考表面平行,第三个轴与壳单元的表面垂直。这样一来,再考虑到大变形,就需要两个坐标系、两套基矢量:一套在参考坐标下的,描述壳的初始位置,对应的某一点位置为 ;另一套定义在当前构型,同一点的位置为 。由于壳可能发生的旋转,这两种坐标系可能会有极大不同。

如前所述,我们将当前构型下的基矢量记为 因此当前构型下的任意向量 就可以用分量形式写为 。而参考构型的基矢量则定义为 。我们没有对这两套坐标基做任何限制,这意味着它们不一定是正交的,也不一定是单位长度的。因此,我们需要使用另一套逆变基矢量:

以及两套对应的度量张量来升降指标:

我们可以把变形梯度张量 投影在这两套基矢量上,来表示它的分量:

为啥一侧用当前坐标系,另一侧用参考坐标系呢?

回忆一下变形梯度张量的定义:

分别把 沿各自的基矢量展开成分量形式,

这样,就可以定义变形梯度张量的分量形式为:

必须始终记住,变形梯度张量的两个下标, ,第一个下标是沿当前构型下的基矢量展开,第二个下标则是沿参考构型下的基矢量。

根据方程 (13) ,我们可以写出:

注意到中间点乘出来了一个参考构型下的逆变度量张量。

好的,求解 这东西对应的矩阵的特征值问题,我们就得到了三个方向主拉伸率的平方和对应的方向。这三个特征向量在当前构型下的分量写为 ,对应基矢量 。因为我们前面已经定义了当前构型下的左伸长张量为:

忘了的话去前面瞅瞅公式(10)

我们就可以在当前构型下写出它的分量:

从而,同样地:

根据变形梯度张量的极分解,

因此,我们就得到了旋转张量的分量:

与变形梯度张量一样,旋转张量 的两个指标也是分别沿着当前构型和参考构型。

这里需要特别指出的是,要区分旋转张量本身和以它的分量形式存储的矩阵。例如,假设某一点的刚体转动为零,即完全不存在旋转( ),但我们选择了不同的两套基矢量 ,那么旋转矩阵的分量会是 。除非你的参考构型和当前构型完全相同,否则这东西在计算机中存储的分量也不会是单位矩阵。

在前面几个段落中,基于相当通用的坐标系统,我们选择性的探索了一些动力学表达式。实际上Abaqus是个很工程化的软件,当然不会没事给自己找罪受。我们希望能用尽可能简单直接的方式表达结果,所以基矢量的选择总是以最方便为目的。对于连续体单元(即空间四面体和六面体等单元),默认的参考构型和当前构型的基矢量都沿着整体笛卡尔坐标系。

那么,对于壳单元来说,什么是最方便的局部坐标系呢?对于壳体,我们采用与壳在该点处参考面平行(或者叫相切)的 ,而 垂直于该点参考面(即沿着法线方向)。默认来说,壳体的 是全局x坐标轴在壳的参考面上的投影。如果全局的x轴接近垂直于参考面,那就改用全局的z轴。在任何情况下, 都沿壳当前法线方向,垂直于参考平面。

而对于梁来说, 沿着梁的轴线方向, 则根据梁的截面定义确定。

任何情况下,只要用户定义了坐标系的方向,那就听用户的。

而对于当前构型的基矢量,连续单元仍然选为全局笛卡尔坐标系。梁、壳和膜单元则定义为:

这些定义具有如下性质:在任意时刻, 都是一组正交基: ,因此不需要区分协变和逆变基矢量。参考构型的基矢量也同样是正交基。这样就简化了我们对各种物理量的理解。这样做简化需要付出的唯一的代价就是,在壳体中我们需要对每个单元、每个点处单独构造一个坐标系,因为壳面是曲面,没办法构造一个统一的坐标系(在轴对称问题中同样,有 )这样从我们的角度来看,是个合适的简化,而代价其实也不算很大,因为我们计算的时候一般也只会一次计算一个积分点。因此,以后的文档里,当我们写出张量的分量时,我们都假设对应的坐标系是正交的。 .

……太好了。

材料除了变形,也会发生大的转动,但那在大部分时候无关紧要,因为我们只考虑一个点周围小邻域内的相对变形,我们关心的是把材料的运动和变形与材料本构联系起来。从数值角度看,刚体平动只在两个地方显得很重要:一是空间离散方式必须允许结构发生刚体位移而不产生应变,这对于有限元插值函数的选择很重要。另一个是,必须在刚体位移较大的情况下能够精确计算应变和转动,因为那种情况下,应变和转动取决于两个很大的运动之间的差异(这种情况下要注意不能因为前面存在一个较大的数字而损失数值精度)。

到此,Abaqus理论文档第二篇-变形部分就结束了。这部分也可以看作一本比较简明的教科书中一个章节。

下一节是应变度量。

毕小喵

2021/04/09  阅读:66  主题:极客黑

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毕小喵