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墨滴

Yang13

2021/05/21  阅读:39  主题:默认主题

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线性空间 Linear Space

线性空间不是基本概念,但是最常见, 所以我们从这里开始。

线性空间,比如像我们想象的欧氏空间,抽象地来说, 是一个交换群加上一个域(比如实数域)的“乘积”, 这样讲既像一个废话,又完全听不懂,所以我们会在后面 慢慢展开。

这篇东西是献给贾茗字的,而目的也很简单,就是要解释数学的发展和用途,这种发展不是凭空出现的,而这种发展最终和实用的目的是不矛盾的。 数学有很多妙处,而最妙的一点,就在于抽象。“抽象” 甚至不能算是数学的特征,因为“抽象”不是来自于数学的。 “抽象”是有数学家创造的,那么可想而知, “抽象”是因为其用途而诞生。

一个常见的问题就是为什么要研究线性空间, 为什么不直接研究矩阵呢。我们知道,对于一台电脑,一个算法来说,线性空间的描述是没有意义的, 最终的算法都要落脚于矩阵的运算。所以这种抽象 是只存在于人脑中的,而这也是其意义的来源。

说了这么多还是没有讲为什么要“抽象“,没有提到 抽象究竟有什么用途。下面就来举一个具体的例子:

应该所有人都知道若当分解(Jordan Decomposition),这是在矩阵计算中最为最为基本的例子, 而这个概念的重要性是毋庸置疑的(那么下一篇就讲矩阵吧,矩阵在所有科学学科中都已经成为了基础),这空前地简化了对一个矩阵的方次的计算(也就是给定了方阵 ,希望计算 )的过程。如果写成算法的话,这把问题的复杂度从 下降到了 ,最终的算法复杂度和 的大小无关了!

若当分解 Jordan Decomposition

说了这么多,还是来回忆一下若当分解是什么: 线性代数课本中是这么讲的:

给定一个矩阵 ,存在一个可逆矩阵 ,使得 是一个分块对角矩阵,其中每一块都 具有如下简单的形式:

这个形式非常复杂,但是对于数学家来说有如下简单的表述:

一个线性算子作用于一个线性空间,则线性空间分解为其不可约表示的直和。

这个表示,才真正反映了问题的本质,也反映了最初数学家 是如何得到若当分解的。若当分解是实用的,但是也是复杂的;而这才是为什么通过抽象,来把复杂的问题变得简单,是有其价值的。本系列第一个目标,就是把这句话中的每一个概念解释清楚。本篇开篇如此琐碎,大概也是希望可以把起源解释清楚。

Yang13

2021/05/21  阅读:39  主题:默认主题

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Yang13