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墨滴

Binfun

2021/05/29  阅读:97  主题:蓝莹

离散傅里叶变换的衍生,负频率、fftshift、实信号、共轭对称

封面是福州的福道,从高处往下看福道上的人在转圈圈。从傅里叶变换后的频域角度来看,我们的生活也是一直在转圈圈,转圈圈也是好事,说明生活有规律,而我们应该思考的是,如何更有效率地转圈圈……哦别误会,我真不是在说内卷(狗头)。

本文会讲到离散傅里叶、实信号、负频率、fftshift、实信号、共轭等概念。

离散傅里叶变换

上一篇文章里面写到了离散傅里叶变换。

公式如上,我发现,只要掌握初中的数学——加减乘除以及三角函数,就可以掌握离散傅里叶变换的运算。

上文中说过:

如果有时域数据如: [1, 2, 3] 的话, 那么代入公式算得频域数据的结果为: [6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i]

频域数据,就是时域数据依次代入到离散傅里叶变换公式的结果。

下面是对频域数据第二个复数:-1.5 + 0.86603i的推算过程。如下:

此时N = 3,k = 1,n = [0, 1, 2]代入到上述公式得:

只要懂得计算:

即可得出整个式子的结果。以上式子表达的即为,一个长度为3的线段,一端在坐标原点上,且线段和X轴(实部)的正半轴重叠。然后线段以坐标原点为圆心,顺时针旋转4π/3。该线段在X轴上的投影即为实部,在Y轴上的投影即为虚部。如下(手残字丑预警):

这里多说一句,如果时域信号也是复数且虚部有值的话,例如[3, 1],那么上图中,起始位置的[3, 0]改成[3, 1]即可,再做同样的4π/3旋转。

实部:-3 * cos(π/3) = -1.5 虚部:3 * sin(π/3) = 2.59808 即为:

同理可得: 以上相加:

1 + (-1 - i*1.732050) + (-1.5 + i*2.59808) = -1.5 + 0.86603i

至此,我们大约已经掌握了DFT(离散傅里叶变换)。DFT即计算三角函数和数据累加的过程,甚至我们也可以自己实现一个DFT函数。

fftshift

FFT即快速傅里叶变换,一种非常高效的DFT函数实现。

通常做完FFT之后,很多场景下会做fftshift。

fftshift是针对频域的,将FFT直流分量移到频谱中心。fftshift就是对换数据的左右两边置换如: x=[1 2 3 4] fftshift(x) -> [3 4 1 2]

用matlab或者octave运行以下代码:

clf;

fs=100;N=256;  %采样频率和数据点数
n=0:N-1;t=n/fs;   %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号

y1=fft(x,N);   %对信号进行快速Fourier变换
y2=fftshift(y1);

mag1=abs(y1);    %求得Fourier变换后的振幅
mag2=abs(y2);    

f1=n*fs/N;   %频率序列
f2=n*fs/N-fs/2;

subplot(2,1,1),plot(f1,mag1,'r');  %绘出随频率变化的振幅
xlabel('Freq Hz');
ylabel('Amp');title('plot 1 usual FFT','color','r');grid on;

subplot(2,1,2),plot(f2,mag2,'m');  %绘出随频率变化的振幅
xlabel('Freq Hz');
ylabel('Amp');title('plot 2 FFT after fftshift','color','m');grid on;

可以看到fftshift完成了shift的功能,但也暗含了额外的信息。

  1. 为什么60Hz可以当做是-40Hz,15Hz可以当做是-85Hz?又或者为什么会有负频率?
  2. 为什么频点40和-40有相同的振幅?

接下来就这两点展开讨论。

负频率

我们还是以时域数据[1, 2, 3] fft后 --> [6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i],作为例子。

[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i] 中的三个数字分别代表0Hz, 1Hz, 2Hz的频点信息。对它做fftshift则会变成:

[-1.5 - 0.86603i, 6 + 0i, -1.5 + 0.86603i]这分别代表-1Hz,0Hz,1Hz的频点信息。原本的2Hz的也就是-1Hz。

为什么?还是要从离散傅里叶变换的公式说起:

还记得我们求频域数据[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i] 中1Hz的-1.5 + 0.86603i的式子吗?

如果求2Hz的式子是这样的: 即为: 因为旋转一周是2π,所以也即为:

以上求2Hz的式子和以下求1Hz的式子再对比一下:

1Hz是顺时针旋转,2Hz是逆时针旋转,旋转的度数是一样的,只是旋转的方向不一样。

所以当N为3时,2Hz即为-1Hz,就是相对1Hz反着旋转。

以上现象公式是可以推导出来的,如下:

实信号的频域,共轭对称

为什么频点40和-40有相同的振幅?因为时域信号是实信号,所谓实信号,即为信号中数据的虚部为0。

所谓共轭,就是实部相同,虚部的符号相反的一对复数。

实信号经过DFT之后,频域信号是共轭对称的,两个数如果共轭,则代表这两个值的幅值相同,相位不同。频点40和-40频点的值是共轭的,所以有相同的振幅。

我们还是以[1, 2, 3]为例子,实信号[1, 2, 3]的频谱是[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i]。

1Hz的-1.5 + 0.86603i和-1Hz的-1.5 - 0.86603i就是共轭对称的。这不是巧合。

这也是暗含在离散傅里叶变换公式中的一个信息。可以推导出来,这还是牵扯到1Hz和-1Hz的频点信息的关系,如下:

如果x(n)是实信号,那么X(k)与X(N - k)则互为共轭,怎么理解?

其中

已经是互为共轭了,就看x(n)的值中的虚部是否为零了。

示意图如下(手残字丑预警):

以上简化了生成1Hz的多个向量,仅为示意,但是1Hz和-1Hz频点的关系一目了然,只有当x(n)是实信号的时候,1Hz和-1Hz才是共轭的,这也解释了为什么仅在实信号时,正负频率是共轭的。

思考另一个角度

频域信号中所有频点代表的曲线,他们的累加即为时域信号。

想象一下(其实是我不会画图 - -),在一个复平面上如何构建一个,在实部投影是40Hz的cos信号,但虚部投影是0的曲线?

我们是否需要两个复平面曲线,一个如下图,假设它的相位和幅值是a + bi,并且以40Hz的频率逆时针旋转。

复指数信号随时间的变化轨迹,图自《深入浅出通信原理》
复指数信号随时间的变化轨迹,图自《深入浅出通信原理》

另一个自行脑补,假设它的相位和幅值是a - bi,并且以40Hz的频率顺时针旋转。

以上两个曲线相加,是否能在一个复平面上如何构建一个,在实部投影是40Hz的cos,但虚部投影是0的曲线呢?

如果本文中有哪些没说清楚的地方,欢迎后台私信我,一起讨论。

参考资料

  • https://www.zhihu.com/question/264560305
  • http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e1cdcaf0100yi41.html

Binfun

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