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墨滴

氟西汀

2021/05/02  阅读:87  主题:默认主题

泛函分析绪论

绪论

下面从分析、代数、微分方程中的一些例子展开讨论

  • 学习如何从问题中抽象出泛函分析中的一些基本概念和基本理论。
  • 学习如何使用类比、联想等方法。从问题中归纳出一些基本的数学思想方法,进而去解决未知的问题。
  • 许多乍看起来很不相干的东西。却存在着十分类似的地方。
  • 泛函分析正是从这些类似的东西中探寻一般的、真正属于本质的东西,把它们抽象化并加以统一处理。
    • 从实例才能感悟数学。
    • 学会发现问题解決问题的思想方法

1.1 泛函分析的研究对象和方法

数学研究的基本问题

  1. 函数 映射

    函数:

    进一步:从一个空间 到另一个空间 的映射。

  2. 运算(算子)

    微分、积分都是运算,并且都是线性运算。

    实际上,运算也是一种映射 .

泛函分析研究的方法

泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程函数论、量子物理等研究中发展起来的一门数学分支学科。

泛函分析综合分析、代数、几何的观点和方法来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论,处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了,而且还把这些概念和方法几何化了。

在下面的泛函分析的研究中,我们把解析几何的这种解决问题的模式,类似地加以推广:

  1. 建立一个新的空间框架

    空间中的元素

    函数:

    运算:

    矩阵(线性运算):

    注 以后特别要注意的是空间中的元素是什么,空间是什么样的结构(距离、范数、内积)?

  2. 在新的空间框架下

    研究解决分析、代数、几何中的问题

    把分析中的问题结合几何、代数的方法加以处理

    • 在解析几何、线性代数中,研究的是:
      • 有限维( 维)空间中的运动和映射
      • 维空间到 维空间的线性运算
    • 在泛函分析(线性泛函分析)中,主要研究的是:
      • 从无穷维空间到无穷维空间的线性运算。
    • 于是要特别关注
      • 无穷维空间的性质,与有限维空间的区别
      • 无穷维空间的收敛性问题(加法与无穷级数的区别)
      • 相同:线性空间
      • 不同:无穷维
      • 有什么新的问题?
        • 无穷维空间的性质
        • 收敛性问题(加法与无穷级数的区别)

1.2 有限维空间空间的坐标分解和算子分解

我们通过一些熟悉的例子。研究和探讨如何类比地建立起这样的空间框架。

把有限维空间的研究方法和结论自然地推广到无穷维空间。

从分析、代数中的问题出发,引出泛函分析研究的思想方法。

这些例子都是我们熟悉的,希望从中领悟到数学处理问题的基本思路,把他们类比地推广到我们尚且未知的领域。

注:空间中一个向量按照标准正交基做了投影分解,把复杂的问题简单化。

这样的方法同样可以类推到线性变换(映射)的研究上

例:线性变化 按坐标分解

是从 的对称矩阵:

其中

我们注意到:

  • 是对称的线性变换
  • 的特征值是实的
  • 的属于不同特征值的特征向量相互正交
  • 可以化为对角矩阵
    • 对称矩阵一定正交相似于一个对角矩阵。

投影算子即为特征向量的列矩阵乘以行矩阵(谱分解)。

1.3 无穷维空间的类比与联想

泛函分析要研究的对象是函数、运算

微分、积分运算,它们作用的对象是函数,

微分、积分运算与 空间中线性变换 相比较,

  • 相同之处:线性运算
  • 不同之处: 把一个 维向量变成 维(或 维)向 量。微(积)分把一个函数映射成另一个函数
  • 函数不能用有限个数刻画,可能可以用无穷多个数刻画

我们希通过“类比和联想”,把有限维空间处理问题的这种方式推广到更一般的空间(无穷维空间)。

这主要研究一下问题:

  1. 无穷维空间的几何结构,特别是:

    1. 是否存在坐标系( )?

    2. 是否具有正交性 ?

    3. 无穷维空间中的元素 能不能分解?

  2. 线性算子的特征和结构

    1. 线性算子的性质(有没有对称算子?)

    2. 线性算子 能不能分解?

      其中 是在 上的投影算子

      由于上式中有无穷项相加,于是存在是不是收敛的问题,如果收敛,是在什么意义下的收敛

1.4 无穷维空间的坐标分解

为了考虑算子的分解,首先研究函数的分解

函数可以用无穷多个数形成的数组来刻画

例如Taylor展开

如果函数满足很好的性质,则在它的收敛半径内,有

即:函数可以和一个可数无穷数列一一对应,

这和一个向量在 维空间的展开完全类似,区别在于 不是正交系。

而我们熟知的Fourier展开就是一种在正交系中的展开

其中

可以由这无穷多个数确定。

其坐标系为:

类似于 ,在函数空间 上可以定义内积:

即:

  1. 在函数空间建立起了一个正交坐标系
  2. 每一个函数和一组(可数的)数一一对应,其中系数是 的内积,即 上的投影。

无穷维求和是一个极限过程。

我们需要考虑

函数项级数(Fourier级数)是否收敛的问题。如收敛,在什么意义下收敛?

根据数学分析,我们有:

逐段可微,则其Fourier级数收敛,且收敛到

我们要在无穷维空间研究收敛性(在什么意义下收敛),即要引进极限的概念。

在Fourier级数中,有Riemann引理

即:

以后我们将看到这是 弱收敛 .

注 从上面几个例子可以看到,要考虑和研究

  1. 空间的概念(无穷维空间)
  2. 空间的结构:距离、长度、内积
  3. 空间的收敛性(强、弱、一致收敛等)。

1.5 无穷维空间线性算子与坐标系

我们再把无穷维空间的线性算子(微分运算)与有限维空间的线性算子相对照,进而研究线性算子的分解问题。

不同的对称矩阵可以产生不同的正交系。

问题:在Fourier级数展开中,这个正交坐标系

是否也可以是一些运算(算子)的特征函数?

例:Sturm-Liouville问题

这是一个二阶的常微分方程,加上两个边界条件(周期边界条件)限制。

微分是一种运算,边界条件给出了它的定义域。

注 把 看作一种运算,边界条件对运算的定义域加以限制,使之成为一个对称算子

这样Sturm-Liouville(S-L)问题 形式上相似。

因为要满足边界条件,不是对于所有 问题都有解。有解的那些 ,称为S-L问题的特征值

我们猜想:

S-L算子

  • 是否有可数多个特征值;
  • 不同特征值对应的特征函数是否相互正交

看成一种运算,对应的特征函数为

这正是Fourier展开中的正交坐标系(乘以系数可使之单位化)

看成一种运算(自共轭(对称)算子)。

相对比

我们有

在有限维空间,可以有不同的正交系(它们可以由不同的对称矩阵产生),在无穷维空间是否也可以有不同的正交系,它们可以由不同的算子产生

答案是肯定的

例:Legendre多项式。考虑Legendre方程 方程可以化为

它是对称的微分算子,可以求出特征值为

特征函数为

且满足

它们是 上的正交系(对称线性算子的特征函数系)。

1.6 无穷维空间上线性算子性质的区别

微分和积分都是高等数学研究的主要对象。

共同点:它们都是线性运算

不同点:粗略的说微分可能把函数变大,积分可能把函数变小

例如:考虑函数:

从下面的例子中我们看到它们在运算性质上的不同

设函数项级数 满足:

  1. 连续可导
  2. 点点收敛
  3. 一致收敛

由此可以推出 上一致收敛到 ,则 可导,且

求导运算可以与无穷级数运算交换顺序

但是微分与级数运算交换顺序比积分与级数运算交换顺序多了一个条件。

以后我们看到积分算子是有界(连续)线性算子;

微分算子是无界线性算子,但是它是闭算子。

有界线性算子和无界线性算子运算性质有很大差别。

总结

上述数学分析、线性代数、微分方程的一些例子中,在处理问上有许多相似的方法,包括:

  1. 向量和元素更一般化(抽象化),空间中的元素(向量)可以是函数或运算(矩阵运算、微分运算、积分运算,级数(极限)运算)
  2. 建立一种空间的框架,把元素(可以是函数或运算)进行坐标分解。我们希通过对比等方法把它们推广到(结果可能会有差异)泛函分析的研究中去
  3. 应用几何,代数和分析的综合手段研究解决问题,研究无限线性空间上的泛函和算子理论

氟西汀

2021/05/02  阅读:87  主题:默认主题

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