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墨滴

葛佳飞

2021/08/24  阅读:35  主题:默认主题

学习笔记|实数域

1. 定义

实数域是实数所在的有理集合,具有连续性、完备性、有序性等性质。

2. 背景

毕达哥拉斯等希腊数学家于公元前500年左右意识到了无理数的存在,印度人于公元600年左右发明了负数,德国数学家热康托尔于1871年最早全面地给出了实数的定义。
实数是一种能和数轴上的点一一对应的数,分为有理数和无理数两类,或者分为代数数和超越数两类,或者分为正数、负数和零。实数集通常用字母R表示,用R_n表示n维实数空间。

3. 特性

3.1. 连续性

3.2. 有序性

3.3. 完备性

4. 基本定理

实数域存在7大定理,它们能够相互证明。

4.1. 戴德金连续性公理

4.1.1. 数据表述:设A,B是R的两上子集,满足A∪B=R,A∩B=∅,A≠∅,B≠∅,且对任何a∈A,b∈B,都有a<b,则称(A,B)为R的一个分割,对于R的任何分割,存在唯一的 ∈R,使得∀a∈A,b∈B,都有

4.1.2. 证明:

A有上界,且A⊂R,∴A有上确界,令其为M
假设M不是B的下界,则 ,有
由于对∀ε>0, ,有 >M-ε
令ε=M- ,则 ,有 > ,与题设矛盾,∴M是B的下界
再假设M不是B的下确界,则∀ε>0,使得M+ε是B的下界,则对于∀a∈A,∀b∈B,有b≥M+ε>M≥a
那么集合(M,M+ε)⊄A,且(M,M+ε)⊄B,与A∪B=R矛盾,∴M是b的下确界
得证,M即为唯一的

4.2. 确界存在原理

4.2.1. 表述:非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界

4.2.2. 概念补充:

4.2.2.1. 有界:

对于R中的一个数集S,若存在数M(或L),使得对一切x∈S,都有x≤M(或者x≥L),则称S为有上界(或者有下界)的数集,M或者L称为S的一个上界(或者下界)。同时具有上下界则称数集有界。

4.2.2.2. 确界:

最小上界称为上确界,最大下界称为下确界,记为supS或infS。

4.2.3. 证明:

,使得 ,则 ,上确界存在。现假设 不存在。
,令 ,若 ,满足 ,则令 ,否则令
,若 ,满足 ,则令 ,否则令
以此类推,可得到


为单调递减有下界的数列,因此 极限存在。
则S_0是S的上界。
对于∀ε>0,∃N,当n>N时, ,即 不是S的上界。
因此, 是S的上确界,S的上确界存在。
同理可证,S的下确界存在。

4.3. 单调有界原理

4.3.1. 表述:单调递增且有上界的数列是收敛的,单调递减且有下界的数列是收敛的

4.3.2. 概念补充:

4.3.2.1. 数列收敛:

对于数列 ,∃A∈R,对于∀ε>0,∃N∈自然数,当n>N时,有 ,则称数列 收敛,且收敛于A。

4.3.3. 证明:

先证明单调递增且有上界的数列是收敛的。 且存在上界
存在上确界
令M为 的上确界
则对∀ε>0,有M-ε不是 的上界,即对∀ε>0,∃N,有
单调递增,∴对∀n>N,有 ,即 ,得证
同理可证,单调递减且有下界的数列是收敛的

4.4. 区间套定理

4.4.1. 数学表述:若 是一个区间套,则在实数系中存在惟一的一点ξ,使得ξ∈ ,n=1,2,...,即 ,n=1,2,...

4.4.2. 概念补充:

4.4.4.1. 区间套

设闭区间列 具有如下性质:

则称 为闭区间套,或简称区间套。

4.4.3. 证明:

对∀n,有

⇒数列 单调递增且有上界,数列 单调递减且有下界
⇒数据 收敛



令ξ=
对∀ε>0,∃N,当n>N时,有
⇒ξ为唯一点满足 ,n=1,2,...
得证

4.5. 聚点定理

4.5.1. 表述:有界无穷点集必有聚点

4.5.2. 补充概念:

4.5.2.1. 聚点:

对∀ε>0,存在无穷多个 满足

则称z为序列 的一个聚点。

4.5.3. 证明:

假设 分别为 的下界和上界
若存在无穷多个 满足 ,则令 分别为 ,反之令 分别为
以此类推可得闭区间套
⇒存在唯一点∈ ,n=1,2,...,令其为z
⇒∀ε>0,∃N,当n>N时,有 ⊂(z-ε,z+ε)
根据[ ]的构造原理,对∀确定的 ,必有无穷多个
⇒对∀ε>0,∃N,当n>N时,有无穷多个 ⊂(z-ε,z+ε)
⇒存在无穷多个 ,满足| |<ε
得证

4.6. 有限覆盖定理

4.6.1. 表述:设H是闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,则必可以从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]

4.6.2. 概念补充:

4.6.2.1. 覆盖:

设有任意个区间(可以是开区间,也可以是闭区间,还可以是半开半闭区间;可以是有限个区间,也可以是无限个区间),它们构成了一个集合H(集合H的所有元素均为区间)。如果对于一个数集S,S中的任意一个元素都属于H中的至少一个区间,那么称H是S的一个覆盖。
它等价于,若S包含于任意个区间所构成的并集,则称这些区间构成的集合H是S的一个覆盖。

4.6.3. 证明:

假设H是闭区间[a,b]的一个开覆盖,且无法从H中选出有限个开区间来覆盖[a,b]
⇒将[a,b]二等分为两个闭区间,必存在一个闭区间不能有限覆盖,记为[ ]
将[ ]二等分为两个闭区间,必存在一个闭区间不能有限覆盖,记为[ ]
……
存在闭区间[ ]不能被有限覆盖,而{[ ]},n=1,2,...,是一个闭区间套
⇒存在唯一η∈[ ],n=1,2,...
η∈[a,b]
⇒η∈S∈H
⇒记S为(α,β)
⇒∃ε>0,有(η-ε,η+ε)⊂(α,β)
且在此ε下,∃N,当n>N时,[ ]⊂(η-ε,η+ε)⊂S
即,[ ]可以被有限覆盖,与假设矛盾 得证

4.7. 柯西准则

4.7.1. 表述:数列{ }收敛,当且仅当它是一个柯西序列

4.7.2. 概念补充:

4.7.2.1. 柯西序列:

若数列{ },对于∀ε>0,∃N,使得当n>N,m>N时有

则称数列{ }为柯西序列。

4.7.3. 证明:

(1)必要性
数列{ }收敛
⇒∃X,对∀ε>0,∃N,使得当n>N时有

令n>N,m>N,则有 ∴对∀ε>0,令η=ε/2,∃N,使得n>N,m>N时有

(2)充分性
对∀ε>0,∃N,使得n>N,m>N时有

⇒∀n>N,有

< ≤S
⇒S为{ }的上界

同理可证D为{ }的下界
∴{ }有界
⇒{ }存在聚点,令其为η
⇒对∀ε>0,存在无穷多个 ,使得

⇒∃n>N,且

⇒∀m>N,有

对∀ε> >0,∃N,使得当n>N,m>N时,有 ⇒数列{ }收敛于η。

参考文献:

[1]https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9E%E6%95%B0%E5%9F%9F/8281537 [2]白瑞蒲, 安宏伟, BAIRui-pu,等. 实数域R上n+1维n-Lie代数的内导子代数[J]. 河北大学学报(自然科学版), 2008, 28(1):4-6. [3]https://zhuanlan.zhihu.com/p/153012626 [4]https://wenku.baidu.com/view/238dc7ae25c52cc58ad6bebd.html [5]https://zhuanlan.zhihu.com/p/267146847 [6]https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%89%E9%99%90%E8%A6%86%E7%9B%96%E5%AE%9A%E7%90%86/7821484?fr=aladdin [7]https://baike.baidu.com/item/%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E6%9E%81%E9%99%90%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%87%86%E5%88%99/6690228?fr=aladdin

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