小韩数学

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2021/07/29阅读:596主题:自定义主题1

想用等价无穷小却忘记了怎么办?

01 前言

记住一些常见的等价无穷小会给我们计算极限带来很大的方便,下表给出了一些在 处的常见等价无穷小

不难发现,我们总将一个无穷小量替换成一个幂函数(或其常数倍),主要是因为这样做比较方便,可以想象,当两个无穷小量相比时,如果把分子、分母都替换成幂函数(或其常数倍),那这个极限问题就迎刃而解了. 但是我们在求极限时,如果把某一个无穷小量的等价无穷小忘记了怎么办?并且我们仅知道一些常见的等价无穷小,未见过的,比如像下面这种等价无穷小

不知道又怎办呢?本文将围绕这个问题给出一种可行、可操作的方案

02 洛必达与等价小的结合

求两个无穷小量相比的极限,也是一种 型的极限,只要满足洛必达法则的条件,就可以使用洛必达法则,但用洛必达法则求导并不总是方便的,因而在此类问题中又常常穿插着等价无穷小,而常见的等价无穷小需要我们平常的积累,若是能将两者的优势结合起来,将会成为解决此类极限的又一利器

假设我们不知道 的等价无穷小,不妨设其等价无穷小为 ,那么

这里我们假设 都是可导的,这时,如果我们能根据 得到 ,再对 进行积分就能得到 的等价无穷小 . 那怎样根据 得到 呢?

这里我们主要讨论两种情况,第一种情况是 ,即 在考察点处的极限是一个不为 的常数,这时根据

我们就取常数 作为 ,再对 积分就能得到我们想要的 ,比如我们现在想要知道 的一个等价无穷小,就可以

作为 ,对其积分可得 (这里对其积分本应该是 是一个无穷小量,所以这里只能取 ,后文类似的情况不再说明),这就是 处的一个等价无穷小量. 再比如,我们想知道 处的一个等价无穷小量,就可以

作为 ,对其积分可得 . 所以

现在看看第二种情况:

这时如果我们知道 的一个等价无穷小(或等价无穷大),就取其作为 ,再对 进行积分就能得到 的一个等价无穷小(或等价无穷大) . 比如我们现在想要知道 处的一个等价无穷小,就可以

作为 ,对其进行积分可得 ,再比如,我们想知道 处的一个等价无穷小,就可以

就取 (这里的 是笔者将 分母中无关紧要的 抹去得到的) 作为 ,对其进行积分可得 的一个等价无穷小. 也即

03 更进一步

可以看到用上述方法得到一个无穷小(大)量的等价无穷小(大)通常并不困难,但这种方法并不总是一帆风顺,比如,我们最开始给出一些常见等价无穷小的最后一个:

我们现在用上述方法试一下,令

对于上述求导的结果,笔者并不知道它的一个等价无穷小,不过我们可以提取一个 ,便有

由于 ,所以这是一个"无关紧要的量",将其抹去,就有

那我们是否就取 作为 呢?首先,对 积分并没有那么简单,其次,在最开始我们说过,若将一个无穷小量用幂函数代替会比较简单,就是说即使我们将 积了出来,将积出来的结果作为 的等价无穷小量未必能简化问题,甚至可能使问题更加复杂,所以这里取 作为 是不妥的.

现在我们设法找出

的一个比较简单的等价无穷小,我们已经知道它的一个等价无穷小为 ,显然, 的一个等价无穷小也是 的一个等价无穷小,为了不使符号混淆,我们记

问题就转化成了求 的等价无穷小,而这个问题和"求 的一个等价无穷小"的本质是完全一样的!所以我们对 也使用上述方法,便有

进行积分就能得到

所以

这就得到了 的一个比较简单的等价无穷小(是一个幂函数的常数倍),取 作为 ,对其积分可得 ,也即

感兴趣的小伙伴可以将最开始给出的表格都验证一遍,我们下期再会!

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