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墨滴

蒹葭苍苍

2021/09/18  阅读:32  主题:姹紫

数理逻辑入门(8)

数理逻辑入门(8)

1 引言

前面介绍过一阶逻辑和ZFC集合论公理体系。现在来介绍一下皮亚诺公理系统。皮亚诺公理系统是意大利数学家皮亚诺1898年提出的一个算术公理系统。这个系统原先有9条,经修改后,现在改为5条。

现在网上有许多不错的关于介绍皮亚诺公理的文章,但我仍然觉得不是很完美。因此,我打算从另一个角度来解读一下。

2 P.A.1和P.A.2

在介绍皮亚诺公理之前,我们同样需要默认一些符号及其含义。

  • :自然数集合;
  • :自然数零;
  • :自然数 的后继数,或者是自然数 的下一个自然数。

首先,我们肯定能认可的一条公理(我称之为非空公理)是:0是一个自然数,符号如下:

  • P.A.1:

还有一条直觉上比较显然的公理(我称之为不分公理)是:每一个自然数都有唯一一个后继数,符号如下:

  • P.A.2:

3 P.A.3和P.A.4

有了前面两个公理,我们可以构造一系列的自然数。

现在,我们分析其中3个相连的数的关系。注意:这只是提供比较直观的解释性说明,不能代表证明。 我们可以得到如图1所示的12种不同的关系。其中,红色点表示的是自然数0,蓝色点表示的是0以外的其他自然数,箭头指向的点就是端点的后继数。例如,图c表示:0的后继数是一个非零自然数,而这个数的后继数是另一个非零自然数。

图1. 12种基础结构
图1. 12种基础结构

根据P.A.2,我们知道一个自然数的后继数是唯一的。因此,像(h)(i)(j)这样分叉的自然数结构是不允许存在的。

在生活中,我们认为0是最小的自然数,也就是说没有一个自然数的后继数是0。所以这是第三条公理(我称之为首元公理):所有自然数的后滋数都不是0。符号如下:

  • P.A.3:

根据这条公理,我们可以排除(b)(d)(g)(j)(l)这个的自然数结构。现在还剩下(a)(c)(e)(f)(k)。

我们印象中的自然数不会出现(e)(f)(g)这样的结构,所以需要引入新的公理。这就是第四条公理(我称之为不合公理):如果两个自然数的后继数相等,那么它们就是相等的。符号如下:

  • P.A.4:

经过这四条公理的筛选,我们只剩下了(a)(c)(k)三种结构。显然,这还是与我们印象中自然数的链式结构不同,所以还需要引入新的公理。

4 P.A.5

通过前四条公理的筛选,我们还剩下(a)(c)(k)三种结构。通过这三种结构,我们可以构造如图2的关系。(环式结构的结点数不影响结论,只是表明环式结构的存在。) 可惜的是,这三种结构并不都是我们想要的自然数结构。因此,我们需要引入更多公理。

图2. 3种符合结构
图2. 3种符合结构

我们将A,B,C组成的集合记为 ,即 。根据我们之前学过的无穷公理,我们可以知道, 是一个归纳集。之前,我们构造过一个最小归纳集,在结构上与自然数非常相似。我们可以引入一个最小性的公理来类似的构造自然数。

  • P.A.5:

这就是著名的数学归纳原理。这里,我更愿意称之为最小归纳公理

现在,我们来看看这条公理的强大之处。记住一点,所谓公理,就是我们默认正确的东西。我们记 ,那么有

但是, ,这与归纳公理矛盾。所以, ,即 不是自然数集。同理,有

但是, ,与归纳公理矛盾!所以, 也不是自然数集。最终,只剩下链式结构 ,并且它满足以下条件时,有

所以,

5 结束语

至此,我们可以看到皮亚诺公理的基本公理。如果再引入加法和乘法的定义,我们可以构造一个完整的算术体系。

  • P.A.6:
  • P.A.7:
  • P.A.8:
  • P.A.9:

通过这9条公理,基本上可以构造初等数论的大部分知识体系。可惜的是,根据Godel不完备定理,如果Peano算术是相容的,那么它是不可判定的。在这个公理系统中,存在不可判定的命题。

至于哥德尔不完备定理,留到下次再谈吧。

蒹葭苍苍

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