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墨滴

瞿立建JoyfulPhysics

2021/06/02  阅读:26  主题:橙心

耶鲁Shankar基础物理 6.4 做功与路径 #X36

设与一维空间类似,有这样一种情况成立,即某个力的线积分仅依赖于起点和终点。我们就像在一维空间那样,将这个积分所得的结果记为 。最终会得到

要得到这个公式,这个关系一定成立吗?

不一定,对于摩擦力就不成立。

现在不考虑讨厌的摩擦力

在一维情形,力 如果只是位置 的函数,力 积分一定可写成另一个函数 在积分上限的值减去在积分下限的值,两函数关系为

类似结论在在二维情况下是否依然成立?

答案是否,即便不考虑摩擦力也不行。很令人遗憾。

一力 仅是 的函数,且不是摩擦力。如图6.3所示,假设一物体沿着路径 ,从1点走到2点,另一物体走的路径是 ,两种情况下,力做的功相同吗? 图 6.3 一个力沿路径在1和2点之间的线积分等于对组成这条路径的许多微小线元在的极限下的点积之和。虚线所示的是这两点间的另一路径。

在二维空间,从点1到达点2的路径有无数,力 沿着路径积分, ,不仅与初末端点有关,还与具体路径有关,积分结果就不能写成

其实,在一维情况下,从 走到 的路径也是有无数多的。例如,我们可以直接从 走到 ,也可以走过头到达 点,然后再返回到 。但是,积分 的结果都是相同的,只要力 仅仅是 的函数,因为从 这一段和从 返回 过程中, 是相同的,而 改变了符号,所以,两部分积分正好抵消。

在这个意义上,一维情形下,只要力 仅仅是 的函数,就是保守力。

一维情形下,摩擦力 不是保守力,因为它还是速度的函数 ,一个往返过程中,不仅 会改变符号, 也改变符号, 积分,往返过程的两段不会抵消,而是加在一起。

现在,我们说二维情况。

我将证明,一般的力做功与路径有关。

比如,我们随便写一个力:

我们现在看看,这个力做功否仅依赖于起点和终点?是否与两点间运动路径的细节相关?

我们先选好起点和终点,比如将起点选为原点 ,终点选为 点。我们再选择两条路径,如图6.4所示。按照路径1,我先沿水平方向走到 点,然后竖直向上到达 点。路径2,我先竖直向上到达 点,然后再沿水平方向走到 点。

图 6.4 力沿从(0,0)到(1,1)的两条路径积分
图 6.4 力沿从(0,0)到(1,1)的两条路径积分

我们先算算沿着第一条路径力做的功。

我要先在水平线段上做 的积分。如果我沿 轴运动了一点点,则

因为是在x轴上,所以有 ,故

即在这段路径上,功为零,这是因为这段路径上力本身为零。

下面计算下一段路径,即从 点到 点这段竖直路径,此时,

因为在这段路径上 ,故

所以,沿整个路径力做的功为

下面看第二条路径。

在竖直段上,力做功多少?

因为 ,所以力 ,力做的功也为零。

对于水平的那段,力做功多少?

因为 ,故

所以,沿整个路径力做的功为

,力(6.61)做功与路径有关。

像这样做功与路径有关的力,称为非保守力,这种力没有势能函数相对应。

对于能量守恒的探求,引导我们寻找功与路径无关的力,这样的力叫做保守力

这样的力能找到吗?

瞿立建JoyfulPhysics

2021/06/02  阅读:26  主题:橙心

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