Loading...
墨滴

傲天居士

2021/07/05  阅读:21  主题:默认主题

一类极限问题的求解思路

1. 周期函数的积分

首先介绍周期函数:

则有

因此有

可以抽象地表述为:

若周期函数的周期为T( ),则其在任意区间[a,a+T]上的积分为某一恒定的常数

关于这个二级结论,有以下两点需要注意:

  1. 这里指明 ,且积分区间为[a,a+T],表明积分上限大于积分下限,因此结论成立。有一种错误的表述方式是:若周期函数的周期为T,则其在任意长度为T的区间上的积分为某一恒定的常数。例如, ,在这里,两个积分的区间长度都为 的周期T,但是方向是相反的,因此积分结果互为相反数。
  2. 二级结论可以快速用于选择填空,提升做题速度。但要注意掌握二级结论的本质,唯有如此,才能构建系统的知识理论体系。

2. 夹逼定理与周期函数积分求极限

夹逼定理是求极限的基本方法,夹逼的思想也是一种重要的数学思想。

上一节我们已经知道:若周期函数的周期为T( ),则其在任意区间[a,a+T]上的积分为某一恒定的常数。利用这一性质,我们有如下推论:

其中, 是周期函数,且周期为T。

有这样一类题目,它是对一个积分表达式求极限,而被积函数是周期函数。结合上面的推论,我们不难想到这类题目可以与夹逼定理联系起来。接下来请看两道例题,相信大家会有所收获。

2.1 被积函数是三角函数的情形

设函数

求极限:

解答:由于 ,

因此当 时,有

因此当 时,存在关系式:

,则有 ,由夹逼准则得:

2.2 被积函数是高斯函数的情形

设函数 , 其中 表示不超过的最大整数,求极限:

解答:

易知存在如下关系:

因此

时,有

容易知道

因此有

于是当 时,有如下关系式:

时,有 ,因此由夹逼准则可知:

傲天居士

2021/07/05  阅读:21  主题:默认主题

作者介绍

傲天居士