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墨滴

路丰坤

2021/06/29  阅读:41  主题:默认主题

拉格朗日乘子法从0到1

如何理解拉格朗日乘子法

问题引出,与原点最短距离

假设有方程

对应图像如下:

现在我们想求其上的点与原点的最短距离:

这里介绍一种解题思路。首先,与原点距离为 的点全部在半径为 的圆上:

那么,我们逐渐扩大圆的半径:

显然,第一次与 相交的点就是距离原点最近的点:

此时,圆和曲线相切,也就是在该点切线相同:

至此,我们分析出了:在极值点,圆与曲线相切!

问题延伸:等高线

为了继续解题,需要引入等高线。这些同心圆:

上图可看做是 的等高线

根据梯度的性质,梯度向量:

是等高线的法线:

另一个函数 的等高线是:

其中 就是其中值为3的等高线:

因此,梯度向量:

和曲线 是垂直关系:

梯度向量是等高线的法线,更准确地表述是:梯度与等高线的切线垂直!

拉格朗日乘子法

求解

根据之前的两个分析:

综合可知,在相切点,圆的梯度向量和曲线的梯度向量平行:

也就是梯度向量平行,用数学符号表示为:

其中 表示乘以合适的系数使方程左右相等。

还必须引入 这个条件,否则这么多等高线,不知道指的是哪一根:

因此联立方程:

展开:

三元二次方程,求解可得:

定义

要求函数 f 在 g 约束下的机制这种问题可以表述为:

意思是subject to,服从于,约束于的意思。

可以列出方程组求解:

用这个定义来翻译下刚才的例子,要求:

联立方程进行求解:

变形

这个定义还有种变形也比较常见,要求:

定义:

求解下面方程组即可得到答案:

把等式左边的偏导算出来就和上面的定义是一样的了:

求解结果是:

和上面的求解结果略有差异, 是引入的,正负无关紧要,只需要将g(x,y)调整一下即可

路丰坤

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