路丰坤
2021/06/29阅读:83主题:默认主题
拉格朗日乘子法从0到1
如何理解拉格朗日乘子法
问题引出,与原点最短距离
假设有方程
对应图像如下:

现在我们想求其上的点与原点的最短距离:

这里介绍一种解题思路。首先,与原点距离为 的点全部在半径为 的圆上:

那么,我们逐渐扩大圆的半径:

显然,第一次与 相交的点就是距离原点最近的点:

此时,圆和曲线相切,也就是在该点切线相同:

至此,我们分析出了:在极值点,圆与曲线相切!
问题延伸:等高线
为了继续解题,需要引入等高线。这些同心圆:

上图可看做是 的等高线

根据梯度的性质,梯度向量:
是等高线的法线:

另一个函数

其中

因此,梯度向量:
和曲线

梯度向量是等高线的法线,更准确地表述是:梯度与等高线的切线垂直!
拉格朗日乘子法
求解
根据之前的两个分析:
综合可知,在相切点,圆的梯度向量和曲线的梯度向量平行:

也就是梯度向量平行,用数学符号表示为:
还必须引入

因此联立方程:
展开:
三元二次方程,求解可得:
定义
要求函数 f 在 g 约束下的机制这种问题可以表述为:
可以列出方程组求解:
用这个定义来翻译下刚才的例子,要求:
求
联立方程进行求解:
变形
这个定义还有种变形也比较常见,要求:
定义:
求解下面方程组即可得到答案:
把等式左边的偏导算出来就和上面的定义是一样的了:
求解结果是:
和上面的求解结果略有差异,
分类:
数学标签:
高等数学作者介绍