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墨滴

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2022/01/05  阅读:62  主题:默认主题

回复张老师 1月5日

  1. 不用极限讲微积分,历史上数学家做了多年努力,最后认为不可能了,实际上是可能的,等等.

    您打算不用极限讲微积分,从你的书里的内容推测来看我想是因为(ε, δ)定义不容易理解的缘故吧,但是如我们前面讨论过的你我各自提出的极限定义,我认为这两个定义在很大程度上降低了(ε, δ)定义带来的难度,我很相信让学生循着这种路子去学是可行的。并不能因为极限的(ε, δ)描述不容易理解就放弃了极限思想的大道,更何况极限思想的描述除了(ε, δ)描述外还有如你我各自提出的更简单的描述。顺便一提,我也曾因为实数定义晦涩难懂而曾寻求过“不基于实数的数学”,这一想法给我带来的两个主要收货是:(1)认识到数学并非全部基于数,具体可看 https://mp.weixin.qq.com/s/PAia11h9x-PVQYns_XLjuA ;(2)迫使我用自己的方式建立了实数理论——反映在前面那篇文章里。

  2. “导数正则函数增”这种最基本的应用,高中和理工科大学生都讲不清道理,而且很多教材都不要求明白道理了

    对于这个问题,我看有的教材是用微分中值定理证明的,但我认为那不太接近于本质,故此也曾做过如下的批注。如果我的这种理解还是无法令您满意,那么请明示!

  3. 切线是什么,瞬时速度是什么,从来都讲不清楚(问切线是什么?回答是割线的极限。为什么它是割线的极限呢,回答是因为我们是这样定义的。)

    用割线的极限定义切线的原因来源于如下图所示的几何启示

    用平均速度的极限定义瞬时速度的原因在于:当时间段越来越逼近0的时候,平均速度也就会越来越逼近在那个位置的速度(瞬时速度)的真实值,因为速度是连续变化的(不会跳跃),物体在较短时间段内的平均速度就不可能离瞬时速度的真实值太远,所以很显然可以把时间段逼近0的过程中平均速度不断逼近的值定义为瞬时速度的真实值。 如果我的这两理解无法令您满意,那么请明示! 我也分别查阅了您的《张景中教育数学文选》和即将出版的《减肥微积分》 - 我感觉这两个定义不好理解,有点复杂,相反我也没看出教材上的用极限定义出来的切线和瞬时速度有什么问题,所以就这两个概念“这些从来都没有说得清楚而且令人信服”的原因还请张老师明示。 我曾经也思考过与之相关的这么一个问题:就拿切线来说,极限过程中的任何一个状态都只是一条割线而已,为什么最后会准确求出切线的斜率呢?最终我发现要理解极限思想的真谛在于把“极限”二字换成“穷竭”,也就是“极限法”的本质是“穷竭法”(这里的穷竭法区别于阿基米德的那种构造方法,我用的只是字面意思),在无限穷竭的过程中剩下来的就只会是切线的斜率了,类似的还可以用这种穷竭的思想去理解定积分求曲边梯形面积的思想。

  4. 关于书稿《减肥微积分》,如果我上面的一些观点有道理的话那么不妨也可以用来审视这本书。另外,如果我来写一本给高中生看的微积分入门书的话,那么我会基于学生对极限的直观理解从而带着他们用直观地方式理解微积分里的主要思想,这其中会多一些启发性的图解和文字说明,主要的目的是帮助他们直观地认识微积分,培养直觉。直觉基本上推动者数学理论的发展,如下几段我比较赞同的话您也可以看看。

    The rigorization of mathematics may have fufilled a nineteenth-century need, but it also teaches us something about the development of the subject. The newly founded logical structure presumably guaranteed the soundness of mathematics; but the guarantee was somewhat of a sham. Not a theorem of arithmetic, algebra, or Euclidean geometory was changed as a consequence, and the theorems of analysis had only to be more carefully formulated.

    All of which means that mathematics rests not on logic but on sound intuitions. Rigor, as Jacques Hadamard pointed out, merely sanctions the conquests of the intuition; or, as Hermann Weyl stated, logic is the hygiene that mathematicians practice to keep their ideas healthy and strong.

    There seems to be a great danger in overemphasizing the deductive-postulational character of mathematics. True, the directing and motivating intuition is apt to elude a simple philosophical formulation; but it remains the core of any mathematical achievement, even in the most abstract fields. If the crystallized deductive form is the goal, intuition is at least the driving force.

  5. 不知道你有没有看过希尔伯特的几何原理,其中有比较简明的说明。或者你看看最近出版的陶哲轩实分析,从自然数讲到实数,很系统严谨。

    两种方法我曾在探索过程中也都看过。本来为实数及其算术法则提供严谨的逻辑基础要回答的一个问题是如 是什么意思及其其结果为什么是 ?(戴德金也提到了这个问题),但是按照希尔伯特的公理化实数定义方式这是一个不存在的问题,因为按照他的其中如下这条公理来看这就是一个没有任何疑问的公理。 对这个问题就这么“囫囵吞枣”地视为一条公理是我所不能接受的一点。 罗素认为希尔伯特的这种做法相当于是窃取了诸如戴德金或康托等人的实数构造方式辛苦得来的实数理论——毫不费劲地把它们拿过来当作公理(To Hilbert's claim that his axiomatic method is superior to the genetic method, Bertrand Russell replied that the former has the advantage of theft over honest toil. It assumes at once what can be built up from a much smaller set of axioms by deductive arguments.)对于陶哲轩的2016年出版的实分析第一册里的实数引入方式,他仍然是以有理数的柯西列来作为无理数的定义,我在文章里也说过这是我所不满意的做法,“每个无理数已不再是我们之前可能认为的那样是一个单独的个体、是一个无限不循环小数,而是被定义成了和无限个元素的集合相关的东西,令初学者看了有些不知所言为何物。”另外,他是从皮亚诺公理出发得到自然数的算术法则的,这种做法可说也是非常严谨的,但是也有不少人认为自然数的这些算术法则不是显而易见的公理吗?——这和上面希尔伯特的公理化处理方法似乎如出一辙,区别在多大程度上接受哪些是公理。

    实数理论本质上已经清楚,就是有理数域加上一条公理,这条公理可以有至少7种选择,最简单的可能是确界存在。这里面没有可能创新了。

    确实如您所说,实数理论的严谨逻辑基础已经被建立了,里面没有可创新的了,我是不满意现有理论的晦涩难懂、不够直观所以才写了这篇文章——希望能提供一种直观且兼具严谨性的实数理论,这和你们将要合著的新书是同样的目的。此外,你的《从数学教育到教育数学》的如下观点在这方面很能引起我的共鸣。

在下才疏学浅,学习数学的时间远远不及您,所以上述如有不对的地方还请张老师多多指教!

李照 敬上

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