Loading...
墨滴

傲天居士

2021/07/05  阅读:41  主题:默认主题

从巴塞尔问题的证明到黎曼猜想

巴塞尔问题(Basel problem)

证明:

其中:

数学专业的同学想必对这个问题十分熟悉,这个问题也有非常多的证明方法。我们首先来谈一下瑞士数学家 Euler 最初对这个问题的证明方法。

首先,Euler 是这样考虑的。由正弦函数在 0 处的泰勒多项式:

因此有

由于 的零点为

因此可以将 写成如下形式:

比对常数项系数,知

得到

代入A并对比二次项的系数,有:

即:

问题证毕。

其实 Euler 还给出过更加严谨的证明,这里就不再讨论了。下面介绍另外一种证明方法,这种证明是由 Calabi, Beukers, Kockg 给出的。证明如下:

交换积分与求和顺序并化简可得:

做代换:

因此有对应关系:

雅可比行列式为:

由此可以得到:

其中区域

因此

由于

因此

证毕。

其实巴塞尔问题(Basel problem)还有许多种证明方法,例如傅里叶分析的证明、概率论的证明、三角多项式的证明、数论的证明等等。具体可以查询《巴塞尔问题的 23 种解法》(详见原文链接),此处不再展开叙述。

其实由巴塞尔问题(Basel Problem)还可以衍生出 Zeta 函数:

这里注意到 Zeta 函数的定义域扩展到了复平面上,且 z 的实部大于 1。

那么,Zeta 函数究竟具有什么性质呢?我们考虑对 Zeta 函数进行处理:

两式相减可得:

继续处理可得:

遍历全体素数,不难发现规律:

这就把 Zeta 函数与素数紧密联系在了一起。另外,Zeta 函数的零点分布也是数学家们所津津乐道的。Zeta 函数的解析延拓形式为:

著名数学家 Gauss 的高徒 Riemann 在研究过程中,以黎曼猜想为前提,给出了素数计数函数:

素数计数函数中 表示小于 的素数个数, 为莫比乌斯函数, 为一个阶梯函数,并满足:

而黎曼猜想可以表述为: 的所有非平凡零点,都在复平面的直线 上,即非平凡零点的实部都是 。黎曼猜想于 2000 年 5 月 24 日由美国克雷数学研究所列为“七大千禧难题”之一,目前只有俄罗斯数学家佩雷尔曼解决了其中的“庞加莱猜想”。去年英国的阿蒂亚爵士在一场讲座上给出了证明黎曼猜想的一个可能的思路,使得黎曼猜想的证明又前进了一步。虽然黎曼猜想的证明至今悬而未决,然而人们在攀登科学高峰的过程中注定会解决一个又一个难题、开创新的领域。费马定理如是,孪生素数猜想亦如是。

参考文献:23 proofs of Basel Problem巴塞尔问题的23种证法

傲天居士

2021/07/05  阅读:41  主题:默认主题

作者介绍

傲天居士