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2021/10/18  阅读:28  主题:默认主题

应用随机过程07

前言

迄今为止,本公众号最受欢迎的笔记为《应用随机过程学习笔记》,与教材相比,它虽然将一些推导步骤进行了详细说明,但其中不乏错漏与冗余。故特此修正,对部分内容或修改或删除,便于学习者对照查看。 ​

摘要

Brown运动是鞅、Markov过程的特例,学习掌握了Brown运动既能加深前面概念的理解,又能便于学习后续期权定价的相关理论。本文对应用随机过程中的Brown运动进行了介绍,其中较为重要的内容是Brown运动的定义、鞅性、Markov性。

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目录

  • 7 Brown运动
    • 7.1 基本概念
    • 7.2 Gauss过程
    • 7.3 Brown运动的鞅性质
    • 7.4 Brown运动的Markov型
    • 7.5 Brown运动的最大值变量及反正弦律
    • 7.6 Brown运动的几种变化
    • 7.7 高维Brown运动 ​

7.1 基本概念

  1. Brown运动的来源:一个粒子在直线上做简单的随机游动,每隔 时间内等概率地向左或向右移动 的距离, 时刻粒子的位置 设诸 相互独立,且 那么
8.1
8.1

  1. Brown运动的定义:随机过程 如果满足
  • (1)
  • (2) 有平稳独立增量;
  • (3) 服从正态分布 . 则称 为Brown运动或Wiener过程,常记为

  1. 标准Brown运动: 的Brown运动. 如果 ,可以通过 将它化为标准Brown运动.

  1. 始于 的Brown运动: ,记为

  1. 空间齐性的定义:称随机过程 是空间齐次的,如果它的有限维分布是空间平移不变的,即

随机过程是基于有限维分布给出的.


  1. Brown运动的性质:
  • (1) 正态增量: ,特别地,当
  • (2) 独立增量: 独立于过去的状态
  • (3) 连续路径: 的连续函数;
  • (4) 空间齐性:

  1. Brown运动的转移概率密度: . 设过程从 开始, ,则 ,于是 概率 的下标表示过程从 开始.积分函数 称为Brown运动的转移概率密度.

  1. 任意Brown运动的有限维分布:

证明: 为了证明这个式子,我们先计算条件概率

再将这个联合概率改写成条件概率的形式:

证毕.

另外,不用条件概率也是可以证明的,仅根据Brown运动的独立增量性,可以得到

,它们是互相独立的正态随机变量,所以

再令 ,那么 ,因此有


  1. 变差和二次变差的定义:当 遍取 的分割,其模定义为 Brown运动的二次变差 定义为依概率收敛意义下的极限 变差即为极限

8.2
8.2
  1. Brown运动样本轨道 的性质:
  • (1) 是关于 的连续函数;
  • (2) 在任意区间(无论区间多么小)上都是不单调的;
  • (3) 任意点都是不可微的;
  • (4) 在任意区间(无论区间多么小)上都是无限变差的;
  • (5) 对任意 ,在 上的二次变差

二次变差的证明:取区间 的分割 使得 ,记

正态分布的 阶中心距