问题背景

为了筛查某种疾病，需要对某地区 个人的血液进行检验，如果将每个人的血液分别检验，则需要检验 次.

为了减少工作量，采用一种混合检验的方法：

按 个人一组进行分组，将同组 个人的血样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这 个人的血液全为阴性，因而这 个人的血样只要检验一次就够了，相当于每个人检验 次；

如果混合血样检验的结果为阳性，则说明这 k个人中至少有一个人的血液为阳性，就要对这 个人的血样再逐个检验，此时这k个人的血样总共检验了 次，相当于每个人检验 次.

假设该地区每个人血液检验成阳性的概率为 ，且每个人的血液检验为阳性相互独立.

问题解析

现取其中 份血样，记采用混合检验的方法中每个人需要检测的次数为 .

的所有可能取值为: ,

且 ,

取n=10，p=0.1时，

画出函数图象：

计算得到： 所以 个人检测，当 ，即， 个人一组的时候，检测次数的期望值最小为 次。

推广结论，当 万人， 个人一组检测，检测次数期望值最小为 万次。

调整阳性的概率为 时：

计算得：

所以10个人检测，当 ，即，5个人一组的时候，检测次数的期望值最小为 次。 推广结论，当 万人， 个人一组检测，检测次数期望值最小为 万次。

调整阳性的概率为 时：

计算得：

当n=10万人，10个人一组检测，检测次数期望值最小为1.96万次。

调整阳性的概率为 ：

在定义域上单调递减，即将全部人混合为一组检测，检测次数期望值最低.