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墨滴

Opsimath

2021/09/05  阅读:32  主题:默认主题

Amann Analysis Chapter I Notes

前言:一些碎碎念

数学分析作为数学系最基本的一门课程,目前市面上的相关教材可谓数不胜数。然而,它们中的大多数都存在着这样那样的问题:

1)不够 self-contained:例如,baby Rudin 一上来就在讨论 的无理性。然而,此时连有理数是什么都没有定义。如果把有理数定义为两个整数之比,那么又产生了新的问题:什么是整数?虽然这些问题相对而言并不是分析学所考察的范畴,但缺少了他们,会使得读者感到缺少了基础。我认为,数学分析作为大多数人第一次接触到严谨的数学的机会,应该是 axiomatic 的,即规定一定的公理和不加定义的概念,其他一切结果均只由前面的结果推出。

2)语言晦涩、生硬:一众国外课本的翻译版都是如此,我曾部分看过的 Zorich 的数学分析和菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》尤甚。这些译者仿佛是从两百年前的古代穿越回来的,大量运用晦涩的、文言文式的表达。我看它们的顺畅程度甚至不如看英文版的。此外,诸如 baby Rudin 这样的经典教程,其往往缺少了必要的“废话”,例如定义的动机、定理的解释和应用等等,而只是 axiom-definition-lemma-proposition-theorem-corollary 的枯燥结构。这很容易导致读者失去兴趣,因为他们看不到这些定义与定理的用途。

3)不够 general:一般的数学分析教程只研究最基本的 ,而不讲述其他更加一般的代数结构、空间等。这导致与后续课程的衔接不够顺畅,例如实分析、泛函分析等。一般来说,数学分析是和高等代数/抽象代数并行教学的,故也应当使用一些代数学的基本工具。如果从一开始就讲述某个结论最一般的形式,即使更加抽象,其优势也是显而易见的。(引用一句话:"Abstractness is the price of generality.")

Amann 的数学分析三卷本在网上鲜有提及,但它是我认为的最好的分析学教程。它是布尔巴基式的一套分析课本:第一册的第一章(Foundations)假设读者毫无基础,从最基本的数理逻辑与集合论讲起,用皮亚诺公理定义自然数,并逐步延拓到最一般的数系——复数,期间引入了各种代数结构,如群环域。随后的几章介绍了收敛、连续、一元函数的微分和函数列等基本概念。第二册详细介绍了一元和多元的微积分,且并不局限于实数域:在必要的时候,它会将结果拓展到复数域甚至更一般的代数结构。第三册则介绍了测度论、流形和其上的微积分等实变函数内的基本概念,并最终以一般化的斯托克斯公式结尾。

本人是一名新高三学生,在前两年,我曾读过各种各样的数学教材,从最基本的如托马斯微积分、Gilbert Strang 的线性代数,到进阶一些的 baby Rudin、Artin 的代数。现在临近申请季,有各种各样的事情要做;高三一年恐怕看不了多少书了。为了使自己的分析和代数不至于全忘光,给自己立下了一个小目标:看完两本书,一本是 Amann 的分析,另一本是 Algebra: Chapter 0。如果有空的话,我会再去读一下 Munkres 的拓扑。

我会在这里更新一些 Notes, 主要包括我不怎么理解的概念,重要的知识点,以及总体的框架;可能可读性不会特别高,毕竟主要是给我自己看的。那么,让我们开始吧。

1 Fundamentals of Logic:逻辑基础

本小节主要介绍了最基本的数理逻辑;更严谨的版本在书后的附录里,不过似乎没有什么实际用途,只是想说明一件事情,就是一阶逻辑的系统,如 ZFC 集合论和皮亚诺公理是完备的。主要内容是一些基本的词汇,如 negation , conjunction , disjunction , quantifier , defined by , implication , equivalence , converse, inverse, contrapositive, necessary, sufficient, if, only if, iff 等等。它们中的大部分可以由真值表定义。因此,检验一个命题是否正确,可以通过比对真值表来进行。

2 Sets:集合

本小节介绍了 (naïve) set theory。没有引入 ZFC 集合论是一个遗憾,因为朴素集合论并非完备(存在 Russell's paradox)。在这里我简单介绍一下 ZFC。

ZFC 中的 ZF 指的是 Zermelo–Fraenkel,两位发明者;C 指的是 axiom of choice,即选择公理。ZF 由八条公理组成,C 因为有一定争议(会引起诸如 Banach-Tarski paradox 之类的违反直觉的结论),有时并不被承认。不过,C 与佐恩引理 (Zorn's lemma)、良序原理 (well-ordering principle) 等有用的结论等价。

  1. The Axiom of Extensionality

This axiom establishes the most basic property of sets: a set is completely characterized by its elements alone. Statement: Two sets and are equal if and only if the statements ( is an element of ) and ( is an element of ) are equivalent.

  1. The Empty Set Axiom

This axiom ensures that there is at least one set. Statement: There exists a set (called the empty set and denoted ) which contains no elements.

  1. The Axiom of Subset Selection

This axiom declares subsets of a given set as sets themselves. Statement: Given a set , and a formula with one free variable, there exists a set whose elements are precisely those elements of which satisfy .

  1. The Power Set Axiom

This axiom allows us to construct a bigger set from a given set. Statement: For every set , there exists a set, called the power set of (denoted ), containing exactly the subsets of .

  1. The Axiom of Replacement

This axiom allows us, given a set, to construct other sets of the same size. Statement: Given a set and a functional predicate in the language of set theory, there is a set which consists of exactly those elements related to elements in .

  1. The Axiom of Union

This axiom allows us to take unions of two or more sets. Statement: Given a set , there exists a set with exactly those elements which belong to some element of .

  1. The Axiom of Infinity

This gives us at least one infinite set. Statement: There exists an infinite set, i.e., a set and an injection which is not bijective.

  1. The Axiom of Foundation

This makes sure no set contains itself, thus avoiding certain paradoxical situations. Statement: The relation belongs to is well-founded. In other words, for every nonempty set , there exists a set which is disjoint from .

  1. The Axiom of Choice

This allows to find a choice set for any arbitrary collection of sets. Statement: For each collection of disjoint sets, there exists a set (called the choice set) containing precisely one element of each set in the collection.

需要注意的是,ZFC 并非集合的定义。集合作为原初的、fundamental 的数学对象,是没有定义的,如同欧氏几何中的点、线、面一样。

朴素集合论想必读者已十分熟悉,在此略过。可能需要注意的是 index set 的用途。

3 Functions:函数

这里函数被定义为了一种特殊的映射: s.t. . 与之相关的词汇都可以很直观地理解。需要注意的是 commutative diagram:如下的 diagram is commutative iff .

此外,一个下文中常常使用,但 notation 比较奇怪的概念是 set of all functions, . 此外, 中, 被称为 的 fiber.

4 Relations and Operations: 关系与运算

本小节为下文代数结构的介绍做了铺垫。A binary relation on 是一个 的 subset。For , we write . 被称作 diagonal。若一个 relation 是 reflexive, transitive, and symmetric 的,那么其被称为 equivalence relation,记作 。对于 , 被称作 的等价类 (equivalence class),也就是所有和 等价的东西构成的集合。 叫做它的 representative。特别地, ,也就是 关于 的所有等价类,被用于定义 (canonical) quotient function: .

如果一个 relation 是 reflexive, transitive, and anti-symmetric ( ) 的,那么其被称为一个 partial order。如果 都有 , 此 partial order 则成为 total order。

一个 映射到 的函数叫做 operation。

5. The Natural Numbers:自然数

本小节用了皮亚诺公理定义自然数。简单地说,natural number 是一个集合 , 其上带有一个元素 ,一个函数 ,符合以下两条公理: (N1) is injective. (N2) If a subset of contains and for all , then . ZFC 集合论 ensure 了一个自然数的 model 存在,且它是 unique up to isomorphism 的。

事实上,下文的许多关于自然数性质的证明都用到了 (N2). (N2) 约等于 induction。 上可以定义 operations 和 partial order ,它们符合通常的运算法则。

6. Countability:可数

本小节讲述了可数与不可数的区别,主要的工具是建立一个 bijection。总体来说,并没有什么需要强调的地方。

7. Groups and Homomorphisms; 8. Rings, Fields and Polynomials:群环域 etc.

这两小节介绍了基本的代数结构:群环域。

Group 是带有一个 operation 的集合,where is associative and has both an identity and an inverse.

Ring 是一个 Abelian group with an associative operation (multiplication), 符合 distributive law.

Field 是一个 commutative ring with unity,且其上的两个运算具有不同的 inverse, 且去掉了 后的集合加上 multiplication 也构成 Abelian group.

一个可以 preserve operation 的映射被称为 homomorphism。A monomorphism is an injective homomorphism, which may be labeled with a . An epimorphism is a surjective homomorphism, which may be labeled with a . An isomorphism is a bijective homomorphism, which may be labeled with a . An endomorphism is a homomorphism to itself. An automorphism is an isomorphism to itself.

9. The Rational Numbers; 10. The Real Numbers; 11. The Complex Numbers:有理数、实数和复数

这三小节 extend 了 5 中的自然数,in the sense that, for example, there is a unique order complete extension field of up to isomorphism. 特别地, 用到了 Dedekind 分割,一种非常神奇的方法。

12. Vector Spaces, Affine Spaces and Algebras:向量空间、仿射空间与代数

这一小节继续引入了新的代数结构。在某个 field 上的 Vector space 满足 is an Abelian group, distributive law, 以及标量乘法与加法间的结合律。Affine space 则是 vector space 的推广,类似于三维空间中的“点”。如果一个 function 是 affine 的,那么 for some linear function . 一个 Algebra 是一个 vector space with and operation , 满足 是环,以及 distributive law。

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