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墨滴

毕小喵

2021/04/09  阅读:117  主题:极客黑

Abaqus理论文档-4 变形速率与应变增量

Abaqus 理论文档-4

变形速率与应变增量

前言

这一篇是帮助文档中的变形速率与应变增量。Rate of deformation and strain increament

前方高能,大量长公式出没。

变形速率与应变增量

理解Abaqus如何计算变形速率与应变增量,有助于理解非超弹性材料本构模型的力学行为。

我们需要研究的材料中,有很多材料的本构是路径依赖的。比如塑性材料过去如果曾经遇到过屈服,那它可能就不能完全恢复原状。对于这一类材料,本构关系通常是以增量形式,即“率”的形式定义的。这就需要应变率的定义。

物质粒子的速度是:

其中,关于时间t的偏微分是指,一个给定的物质粒子,其空间位置 随时间的变化率。在这里我们还是用拉格朗日的视角,摄像头跟着一个粒子一起运动。而不是像欧拉视角那样观察空间的一个固定的点。在Abaqus的结构分析中默认使用拉格朗日视角是由于我们通常处理的都是与历史有关的材料性质,而拉格朗日视角让我们能够很容易地记录和更新材料点的状态,因为网格和材料是固定在一起的。

当前构型中,两个相邻粒子之间的速度差为:

这里定义

为当前构型下的速度梯度。

在变形一节,我们引入了变形梯度张量 的定义:

因此,

上面都是用速度对空间的变化率求速度梯度的。其实翻翻我们的第一个公式,我们还可以直接把微元长度对时间求偏导来求速度梯度:

很显然:

因为 定义为两个相邻粒子之间的速度差,而只要给定了两个粒子,在参考构型(初始状态)下它们之间的距离 就是始终不变的。因此 项没有时间导数。

往上翻一翻,比较一下两个式子,很容易得知:

现在, 将由一个变形率和一个旋转率组成。我们可以把 分解成一个对称的应变率张量和一个反对称的旋转率张量,就像在小变形理论中我们把无穷小位移梯度分解为无穷小应变和无穷小旋转一样。

其对称部分为应变率(在很多书里也叫它变形率张量,经常被写作 ):

分解出来的反对称部分是自旋矩阵

这些都是非常简单和常见的形式。例如,如果我们用位移 代替粒子的速度 ,那么 就等同于经典弹性力学中的小应变定义了。

在一维情况下, 是:

这表示 是对数应变率。

在这停顿!

本节中,从头到尾都没有提到具体使用哪一个应变度量。开始只是引入了速度梯度 ,并且将它做了对称和反对称矩阵的分解。只是到了一维情况下,代入数值才发现这个应变率对应了对数应变这一应变度量。

是咋从 这一步的呢?文档没说。显然文档觉得这件事是很“显然”的。

那我就解释一下它为啥是“显然”的。

因为在一维情况下,只有一个方向,所以 其实就是 。而回顾我们之前对伸长率的定义: ,在一维情况下其实也可以写成

应变率的写法是应变头上挂个点,说明是对时间求导。因此

上面说了,在一维情况下应变率是这个:

为了让它俩相等,应变 只可能是对数应变 。因为

如果应变的主方向(三个主应变对应的方向)随刚体运动发生旋转,这种解释也是精确的。因为对应变度量的识别可以分别应用于对数应变张量的每个主应变值(或者叫特征值)。

在一般情况下,当主应变方向发生旋转,而材料本身没有旋转时, 不可以积分为总应变度量 。然而,在主方向不发生旋转的特殊情况下我们识别出 是对数应变的速率这件事,为对数应变提供了一个非常合理的解释:当我们把应变率 用本文上述的方法定义为速度梯度的对称部分时,它就是最“自然”的应变率度量,相对应的,对数应变即是“自然”的应变度量。

典型的非弹性本构模型需要输入一个很小但有限的应变增量 ,以及该结构点处,当前构型下矢量和张量形式的状态变量(例如应力) 。在Abaqus/Explicit里(以及Abaqus/Standard的壳和膜单元),计算 的算法略有不同。对Abaqus/Standard中大多数单元来说,我们首先对增量变形 使用极分解定理,来确定材料点处在该增量步下的平均旋转, :

R是旋转矩阵。首次出现于2-2节,变形梯度张量的极分解。忘了的同学可以回去翻翻。

这样,所有和材料有关的矢量和张量(由上一增量步得到,在该增量步开始时即可用),就可以在增量步结束后旋转到最新的构型。这个旋转仅用于计算刚体转动:

对于矢量,

对于张量:

这些旋转后的张量会被传递给本构关系子程序,然后将根据材料的本构关系进一步更新这些量。这些本构关系与材料的变形有关,而变形需要以应变增量 的形式提供。为此,我们按照以下步骤执行程序:

由于我们假设 旋转了变形的基矢量——因为它旋转了变形张量的主轴,从而提供了一个描述材料平均旋转的度量——我们可以定义增量过程中任意时刻的速度梯度 ,这个张量基于 时刻固定的基矢量,为:

然后,我们应变率 的积分是应变增量矩阵 ,定义在增量步结束时的基矢量上,表示为:

参考式(2),上面的积分为:

(我放弃治疗了,这个公式怎么换行写都会很长的)

因为

我们可以利用变形梯度增量在该增量步开始时刻的极分解,来写出速度梯度张量

因此,应变增量定义(3)中的被积函数是:

我们现在假设,定义在增量开始时刻坐标基上,增量步中任意时刻的增量伸长率, ,总是具有相同的主方向 ,从而

因此,

以及

进一步,我们可以写出

因此得到:

公式虽然看着长,但还是很工整的对不对?

最终,终于!从公式(3),我们得到了应变增量的表达式:

因此,只要我们假设,在每一个增量步内,任何时刻的拉伸率都和这个增量步的总拉伸率张量拥有相同的主方向(建立在增量步开始时刻的基矢量上),应变增量的对数形式就提供了所需的应变率的积分。(应变率还是如前所述,以变形率的形式表示。)这一假设要求拉伸率的分量在一个增量步内是成比例增加的: ,其中p是0到1之间的任意标量,在 时间内从0单调递增到1.

那如果增量很大,这个假设可能就是有问题的。但即使这样,它与非弹性本构模型的积分所使用的近似水平一致,因此没关系。

经过以上推导,我们就拥有了一种计算应变增量的简单方法(取对数)。用在这一类本构模型上时,相比我们已经接受的本构积分本身的近似,不会产生任何额外的精度损失。

毕小喵

2021/04/09  阅读:117  主题:极客黑

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