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墨滴

蒹葭苍苍

2022/01/12  阅读:19  主题:姹紫

代数方程进阶(6)

代数方程进阶(6)

1 一个重要的定理

  • 定理5:对于一个有理数域 上的不可约方程 ,且其次数 为奇素数,若 在包含 次单位根 的数域 上不可约,但是在数域 上可约( , , 为素数),则 的根具有以下形式:

其中, 次单位根, 均属于数域

2 证明

次单位根代入到有理数域 中,即

由于 为次数小于 的方程 的一个根,根据定理4[1] 在数域 上是不可约的。所以

由于 在数域 上不可约,但是在数域 上可约,因此可以设

其中, 上的不可约多项式,且是系数属于 的关于 的多项式。

根据定理4[2],由于素数 是素数 的一个因子,所以

根据阿贝尔辅助定理[3],数域 上的方程 个根为

根据定理4[4],由于 的因子,所以 均可整除

另外可以证明,所有 个多项式 上都是不可约的,并且 个多项式 是互不相等的。由于这两个原因, 可被 中不可约的 个不同因子 的乘积 整除

其中, 是关于 的根的对称函数,且 均是 的多项式。

由于 在数域 上不可约,所以 ,即

根据这一结果,再考虑到 在数域 上的可约性,可以发现 可分解为线性因子的乘积。设 的根,而 的线性因子,则

所以

其中, 为方程 个根, 均属于数域

或者

由于 次单位根 具有周期 ,所以上式可以简化为

其中, 次单位根, 均属于数域

3 两个补充证明

上面的证明中有两处直接省略的证明,在此处进行补充。

  • 第一部分的证明:反证法

类似定理4[5]的证明,由 可得 ,但是这是不可能的,因为 在数域 上是不可约的。

  • 第二部分的证明:反证法

,将此处的 来替换(它们对于方程 来说是等价的,对称的),则

其中, 。重复进行这样的多次替换,可以得到

然而,作为 个根 的对称函数,该方程的右侧是数域 的多项式,所以 也是 的多项式。显然,根据题设, 上的不可约多项式,不是 上的多项式。矛盾!

4 一个例子

卡当公式[6]可知,三次方程 的求根公式为

可以将这个求根公式进行改写,

其中, , 。 由此可以发现,三次方程的求根公式是符合上述定理的。

这个定理5的结果与之前的短文[7]中提到的一个假设类似,虽然还没有完全证明。但是这个定理足以得到一些非常有趣的结果了。下次将介绍这些有趣的定理。

参考资料

[1]

代数方程进阶(5): https://mp.weixin.qq.com/s/hcdzEM0ET-2UYzdc67KbnA

[2]

代数方程进阶(5): https://mp.weixin.qq.com/s/hcdzEM0ET-2UYzdc67KbnA

[3]

代数方程进阶(1): https://mp.weixin.qq.com/s/Jew05SVgL6ZUuPlizk8khw

[4]

代数方程进阶(5): https://mp.weixin.qq.com/s/hcdzEM0ET-2UYzdc67KbnA

[5]

代数方程进阶(5): https://mp.weixin.qq.com/s/hcdzEM0ET-2UYzdc67KbnA

[6]

代数方程的解法: https://mp.weixin.qq.com/s/hknrmlK_ss_23xfcI2QE8w

[7]

代数方程的解法: https://mp.weixin.qq.com/s/hknrmlK_ss_23xfcI2QE8w

蒹葭苍苍

2022/01/12  阅读:19  主题:姹紫

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蒹葭苍苍