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墨滴

张春成

2022/01/08  阅读:31  主题:默认主题

降维打击-四元数

降维打击-四元数

欧拉四元数简直是神迹, 用四维的形式解决三维的问题。

在四元数规范下, 我们将看到内积和外积对应同一个方程的实部和虚部, 也因此,三维世界的解析几何经典公式在四维世界中成对出现。

这也是目前主要的计算机视觉工具在处理三维空间几何计算问题时, 使用四元数对空间坐标进行表示的原因。


虚数与四元数

欧拉提出了虚数单位i的概念, 解决了如何表示在实数轴之外的,全部代数方程的根、 如何将旋转表示成代数问题等等数学困难。

四元数是对虚数概念的三维拓展。

其中, 是相互正交的“虚数”单位,满足

这是纯粹的数学概念, 让我们给他赋予一点现实意义。 代表笛卡尔坐标系的三个轴, 对于三维空间中的一个点, 代表点的向量表示,

代表这个点的某个特征, 如果我们只是为了表示某个点, 值通常取零。

下面的分析可以看到, 在这样的定义方式下, 四元数可以与三维几何拓扑中的内积和外积概念,完美的对应起来。

四元数的并乘

借用张量分析里“并乘”的概念, 我们将四元数的内积用“并写”的方式展示出来

其中,两个括号并没有实际意义, 只是为了标记一个现象, 前一个括号代表四元数的“实部”, 后一个括号代表四元数的“虚部”。

可以看到,并乘计算与内积计算过程是相同的, 虽然如此, 但这里使用这么麻烦的方式来表达“内积”不止是为了装X, 而是确有考量。

因为实向量的内积一般为实数, 而四元数的内积却仍然是四元数。 也就是说,四元数的并乘计算, 对四元数集合是封闭的。 这是与内积完全不同的性质。

另外,从实用角度考虑, 四元数的并乘与内积在计算符号上也应有所区别, 从而方便数学表达式的撰写。

在明确了并乘符号的意义之后, 我们观察并乘结果的实部和虚部, 可以看到,在 的前提下, 两个四元数并乘的实部等于它们的内积, 而虚部等于它们的外积, 且满足计算关系如下

此时,我们发现只要计算四元数的并乘, 就可以同时得到向量的内积和外积, 这是相当简洁和漂亮的结果。

双胞胎

不难验证,四元数的并乘满足结合律, 但不满足交换律, 因此可以说四元数集合构成群。 这个群可以有效地解决三维向量的复杂方程, 而且它们几乎总是以“双胞胎”的形式成对出现的。

利用结合律性质, 我们可以将三维空间中的经典几何等式, 以成对的方式进行推导。

首先将 算子表示为四元数的形式

它与其他四元数的并乘结果如下

并且,它的二次方为

下面尝试用用两个例子来说明以上的结果的应用

第一个例子

利用四元数的结合律,有下式

其中,左式为

注意到它的实部为零,虚部非零。

右式为

展开得

由于它与左式相等,因此利用对应项相等,有

这样,就莫名其妙地推导出了两个重要公式, 尤其是第二个公式,实属是在三维空间中非常难以证明的玩意。

第二个例子

引入标量场 ,它的四元数表示为

考虑被其加权的向量场

当然,在三维空间中,它的表示相当的简单

采用了麻烦的四元数表示方法之后, 它将会给我们带来什么呢? 让我们来考虑以下微分式, 将复合函数的微分展开得

对它的左侧进行展开,得到

将右式展开,分别得到实部和虚部,得到

实部

虚部

这样,就可以得到另外两个重要结论

以及

通过以上两个例子可以看到, 从四元数的升维空间, 可以方便地解决一些三维空间的解析几何问题。

这也是目前主要的计算机视觉工具在处理三维空间几何计算问题时, 使用四元数对空间坐标进行表示的原因。

张春成

2022/01/08  阅读:31  主题:默认主题

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张春成