Loading...
墨滴

奶酪氨酸酶

2021/10/18  阅读:23  主题:默认主题

应用随机过程08

前言

迄今为止,本公众号最受欢迎的笔记为《应用随机过程学习笔记》,与教材相比,它虽然将一些推导步骤进行了详细说明,但其中不乏错漏与冗余。故特此修正,对部分内容或修改或删除,便于学习者对照查看。 ​

摘要

本文对著名的Itô积分进行了简单介绍,主要包括关于随机游动和Brown运动的积分、Itô积分过程、Itô积分公式。其中较为重要的部分是Itô积分的定义及其积分公式。

PDF 版本请使用浏览器打开本文章,再使用网页打印即可获取。
注:建议在横屏和非深色模式下查看;行间公式可左右滑动。

目录

  • 8 随机积分与随机微分方程
    • 8.1 关于随机游动的积分
    • 8.2 关于Brown运动的积分
    • 8.3 Itô积分过程
    • 8.4 Itô积分公式
    • 8.5 随机微分方程

8.1 关于随机游动的积分

  1. 为独立同分布的随机变量,且

表示相应的游动,即

形象地来看, 为第 次公平赌博的结果,设 ,并令 表示第 次赌博的赌注,它只能由第 次及其之前的信息决定,在第 局结果出来之前就以及确定好的,换而言之,它是 可测的随机变量。于是 局结束后,收益

其中 我们称 关于 的积分.

容易知道, 是关于 的鞅,即若

特别地,

此外,如果假定 ,因为

,如果 ,则 都是 可测的,且 独立于 ,那么

于是


8.2 关于Brown运动的积分

本节的目的是定义关于Brown运动的积分

  1. 简单函数关于Brown运动的积分: 设 是一维的标准Brown运动.考虑一个非随机的简单过程 ,即 是一个不依赖于 的简单函数,那么存在 的分割 及常数 使得 与之等价的表达是
9.1
9.1

于是,可以定义其积分为

由Brown运动的独立增量性可知, 是Gauss分布的随机变量,其均值为0,方差为

利用取极限的方法可以将这一定义推广到一般的非随机函数


  1. 将简单函数中的常数 用随机变量 来代替,并要求 可测的,其中 .由Brown运动的鞅性,可以得到

  1. 简单随机过程关于Brown运动的积分:设 是一个简单随机过程,即存在 的分割 ,以及随机变量 使得
  • (1) 是常数;
  • (2) 依赖于 但不依赖于
  • (3) 并且

此时,定义Itô积分

简单过程的Itô积分是一个随机变量


  1. 简单过程的Itô积分性质:
  • (1) 线性:如果 是简单过程,则 其中 为常数.
  • (2) 其中 是区间 上的示性函数.
  • (3) 零均值性:如果 ,则
  • (4) 等距性:如果 ,则

证明:性质(1)(2)(3)由定义即得,下面证明(4),由Cauchy-Schwarz不等式可知

于是

因为 依赖于 但不依赖于 ,如果 则有

再利用Brown运动的鞅性,可得


8.3 Itô积分过程

  1. Itô积分过程的定义:假设对任意实数 ,那么对 ,积分 是适定的. 因为对任意固定的