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2021/12/22  阅读:30  主题:默认主题

BS三种方法

摘要

本文分别通过三种可行的方法,即(1)偏微分方程、(2)测度变换、(3)二叉树模型,来得到Black-Scholes公式(Black & Scholes,1973).从严格意义上来说,只有(1)(2)是从基本假设出发推导得到,(3)则是由多期二叉树CRR模型(Cox、Ross & Rubinstein,1979)的极限形式得到,并且收敛的结果依赖于模型中股票涨跌幅参数 的选取,具有偶然性.

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目录

  • 1 偏微分方程
    • 1.1 知识准备
    • 1.2 求解方程
  • 2 测度变换
    • 2.1 变换过程
    • 2.2 计算过程
  • 3 二叉树模型
    • 3.1 模型概要
    • 3.2 极限计算
    • 3.3 程序验证

1 偏微分方程

偏微分方程方法是Black-Scholes公式诞生时采用的方法,它的主要思路是用 单位的股票和 单位的债券动态构造一个无风险的自融资组合 ,对组合的价值变动过程 进行随机微分后,通过系数的对比,可以分别得到自融资策略 满足的方程以及Black-Scholes偏微分方程:

对于欧式看涨期权,其初值、边界条件为

推导过程:《应用随机过程笔记2.0(09 BS模型)》9.2节

求解这个偏微分方程即可得到Black-Scholes公式.

1.1 知识准备

本节主要介绍一个简单的偏微分方程的解法.通过变量替换,Black-Scholes偏微分方程可以转换为这个简单的热传导方程:

初始条件为

进行关于 的Fourier变换,得

于是

解得

对函数 进行Fourier逆变换,得到

于是

那么,原方程的解为


1.2 求解方程

对方程

边界条件与初值条件为

于是

那么

那么

其中 . 相应地,边界条件和初值条件为

下面通过待定系数法求 使得函数 满足方程

代入 满足的偏微分方程,可得

整理得

通过令

使得 前的系数为零,于是原方程化为

相应地,边界条件和初值条件为

使用预备知识中的内容

其中

代入得