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墨滴

唐龙

2021/10/26  阅读:26  主题:默认主题

一道让老师也踩的陷阱

如图,水平地面上,质量为M的斜面顶端用一根L长的轻绳连接着一个质量为m的小球,忽略一切摩擦,开始绳子出于水平状态,现释放小球,问小球运动到最低点时的拉力为多少?

不止一次遇到老师们在讨论这个问题,议论以下解法的错误出在哪,我们不妨一起探究下

解:

能量守恒

……①

水平上的动量守恒

……②

牛定第二定律

……③

联立可得

以上解法出现了一个很容易犯的错误,①②都没有问题,问题在③。③误认为小球做的是圆周运动,或者说误以为小球那一点的曲率半径就是L。事实上,在小球向右运动时,斜面也在向左运动。于是小球轨迹如下图所示,并非是圆周运动,故小球运动到最低点时的速度 和此时斜面的速度 算的是正确的,但绳的拉力T错误。由于开始轨迹切线竖直,最低点显然轨迹切线水平,有理由猜测小球轨迹是一个椭圆。

这里介绍两种正确解法

一、以斜面为参考系

这是最简单,最灵活的一种解法。以斜面为参考系,则小球做的是一个严格的圆周运动,而且此参考系在这一瞬间由于轻绳竖直,则斜面相对地面的加速度为0,不必考虑惯性力。不过这种情况下小球速度变为

二、以地面为参考系

以地面为参考系,斜面顶点初始位置为O',曲线AB为小球轨迹,A为初始点,B为最低点,O点在B点正上方,以O点为原点,竖直向下建立y轴,水平向左建立x轴,当小球位置为某一位置N(x,y)点时,斜面顶点位置为P

在B点由水平上的动量守恒

在N点由水平上的动量守恒

两式相减

在三角形MNP中由勾股定律

可见轨迹是一条货真价实的椭圆

椭圆在B点的曲率为

这种解法更具数学上的趣味性,还能发现其轨迹为椭圆这样一个惊喜。

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唐龙

2021/10/26  阅读:26  主题:默认主题

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