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墨滴

张春成

2021/10/25  阅读:45  主题:默认主题

群的边界

群的边界

从《群》的第一篇不难看出, 群是一个包罗万象的概念。 但越是面对这样的东西, 就越需要谨慎。

本文将通过一个例子说明哪些元素不在群里, 从而厘定群的边界。


种豆得豆

从《群》的第一篇不难看出, 群是个包罗万象的概念。

从代数学的角度, 如果一个集合中的元素既对加法和乘法封闭, 又包含加法和乘法幺元的话, 那么它就是有理数集。

像种豆子一样, 种子是 ; 通过加法及其逆运算可得全部整数; 通过乘法及其逆运算可得全部“分数”。

因此,有理数集可以简单地表示为

其中, 都是整数。

这个集合极其稠密, 因为任意一个给定的有理数 , 在它的任意小的领域内, 至少能找到另一个有理数 , 满足

这与函数连续的定义极其相似, 我们甚至可以说, 如果一个函数的值域或定义域是有理数, 那么它就似乎是“连续”的。

从本体论哲学的角度出发, 我们已经对数字进行了精确的定义, 我们定义了数字的基础,还定义了“全部”数字生成方式, 就像世界由元素所生成一样,我们自洽地解决了“数”的问题。

但事实上, 这些定义中并没有无理数的位置,更加无法构成实数集。 下面举一个例子,说明问题出在哪里。

缘木求鱼

为了说明问题的本源, 需要从本体论转向认识论哲学, 即解释这个世界的各种现象,而不是定义它们。

使用群的定义方式,似乎能够以极大的密度对数字进行定义, 但却仍然会不可避免地在其中遗留一些空隙, 这些空隙统称无理数

Sqrt Demo1
Sqrt Demo1

上图表示正方形的对角线与边长的关系。 根据勾股定理,对角线的长度应等于边长乘以 。 这是一个极其无理的符号, 它代表一个固定的数,它乘以自己的结果为 。 显然,它是介于 之间的数,却无法用有理数的方法来定义它。 也就是说,我们从 开始的代数的群,无法包含这样一个数。

而如果我们从群的思想出发,甚至能够推导出十分荒谬的结果,

从正方形的边出发,定义这样一个“操作”, 即沿着它的一个“角”向内翻折。 我们注意到, 翻折之前蓝色部分是三角形的集合,翻折之后仍然是三角形的集合,所以它对翻折封闭,因此它是原群; 翻折的顺序不影响最后的效果,所以翻折操作满足结合率,因此它是半群; 翻折不包含保持不变的操作,因此终止于半群。

那么仔细分析我们的翻折操作,发现它不影响蓝色三角形的边长; 但每次翻折过后,蓝色区域的面积却越来越小; 从而通过无限次的翻折,我们可以使蓝色区域达到极小;

其中, 分别代表经过 次翻折之后, 黄、蓝与蓝、绿边界的高度函数, 代表位置参数。

最终蓝、绿色区域的边界与对角线重合,得到那个荒谬的运算结果。

这显然是歪理邪说。 因为不管我们如何继续翻折,蓝、绿色区域的边界与蓝、黄色区域边界始终相差 倍。 但值得注意的是, 如果图形不是如此直观和低维的话, 单纯从群推导,很难发现其中的漏洞。

当然,数学绝不是拿这样的问题没有办法。 在曲线积分过程中,我们一直要求被积曲线的一阶微分是连续函数, 就是这个道理。 事实上,蓝、绿色区域边界的一阶微分并不连续,所以应该谨慎处理。

看山不是山

这个例子非常的无厘头吗? 并不是!

因为你可以看一下所面对的计算机或手机屏幕, 上面的所有像素点都是这样横平竖直排列的, 因此,我们无时不刻地在用类似“翻折”的方式来近似斜线图形。 所以,我们真的需要 这样麻烦的数字吗? 从计算机的视角来看,正方形的对角线长度是 还是 呢?

另外,物理学研究的一些假说告诉我们, 物理世界在微观层面是量子的,也就是离散而非连续的。 那些观测到的物理量是否就像一个巨大屏幕上的像素点呢? 如果是的话,客观世界存在像 这样的无理数吗?

以上这些问题,也许就是群论和代数论的边界。 这些奇怪的问题,可以在分形、实分析等高等数学里找到答案。

本文的目的并非提出问题, 而是为群这一个包罗万象的概念厘定一个边界, 至少在边界内,讨论才是安全的。

张春成

2021/10/25  阅读:45  主题:默认主题

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