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墨滴

蒹葭苍苍

2021/08/24  阅读:23  主题:姹紫

数理逻辑入门(7)

数理逻辑入门(7)

1 引言

前面几篇短文介绍了ZF集合论的几个公理:外延公理、内涵公理(分离公理、子集公理)、无序对公理(配对公理)、并集公理、幂集公理、正则公理(基础公理)、无穷公理和替换公理。今天简单介绍一下著名的选择公理。

2 映射

2.1 笛卡尔积(卡氏积)

在介绍选择公理之前,先对上一篇短文提到的映射概念进行一下补充说明。通过内涵公理、并集公理、无序对公理、幂集公理可以做出如下的定义。

  • 有序对
  • 笛卡尔积

2.2 映射

有了笛卡尔积,我们可以对映射做出如下定义。

  • 关系:如果集合 满足 ,那么就称 为从 的一种关系。
  • 映射:如果关系 满足 ,那么就称 为从 的一个映射(或函数)。映射通常可以写作:

此时,我们可以给出定义域和值域的概念。

  • 定义域
  • 值域

有了映射概念之后,可以定义单射、满射、双射等等概念。映射(或函数)几乎是数学中最为重要的概念之一。没有映射(或函数),就不可能有现代数学。

3 单值化原则

通过前面的定义,我们可以发现,不是每一个关系都能成为映射。因为映射要求定义域中的每个值都唯一对应一个值域中的值,而关系却允许对应多个值域中的值。

例如,一个非负实数的平方根就是一个关系,它是从非负实数到全体实数的一个关系。但它不是一个映射,因为每个正实数都有两个平方根,如1的平方根为1和-1。但是,我们去掉一部分值域中的负数部分,即保留算术平方根,就变成映射了。因为每个非负实数的算术平方根有且只有一个值。

通过上面这个例子,我们可以发现,虽然关系不一定是映射,但是我们可以通过“剪枝”的方法,使其定义域中的值所对应的值唯一,即单值化。数学语言描述就是:

  • 单值化原则

其中, 的全体映射构成的集合。

如果,集合 中的元素有限,我们可以证明上面这个单值化原理是成立的,它是一个定理。但是对于无穷集合呢?

4 选择公理

遗憾的是,对于无穷集合,我们无法对单值化原理进行证明。事实上,单值化原理是选择公理的等价描述之一。下面看看选择公理的一些其他描述。

  • AC(选择公理):设 为非空集族(集族为由集合构成的集合),则存在以 为定义域的函数 ,它满足 其中的 称为选择函数,因此这个公理称为选择公理。
  • AC1(单值化原则):设 的关系,且 的定义域为 ,则存在 的映射 ,满足
  • AC2(单射原则):任意映射都有包含同一值域的单射。这与单值化原则互为对称,一个单值化值域,一个单值化定义域。
  • AC3(代表集原理):集合的每个分类中都存在代表集,即可以从每个等价类中取出代表元素一同构成新集合。
  • AC4(良序原理):任何集合上都可以构造良序。

选择公理还有许多其他等价命题形式,如乘积定理、Zorn引理、Tukey引理、Hausdorff极大原理等等。选择公理在数学上用处极大,可以提供了非构造性证明方式,为数学证明提供了便利。由于其非构造性特点和其导出的一些奇怪定理(如巴拿赫-塔斯基悖论),选择公理曾饱受争议。但随着哥德尔证明了选择公理相对于ZF公理的相容性,保罗·寇恩证明了选择公理相对于ZF公理的独立性,数学家们才开始慢慢接受了它。

后记

至此,我这半年的数理逻辑和集合论的自学笔记全部完结了。以后有空的话,可能会学一点模糊逻辑和自动证明的东西吧。

练习

1.证明:

2.证明:

3.证明:

4.证明:若集合 的元素个数为 ,集合 的元素个数为 均为自然数),则从 的全体映射的个数为

5.证明:设 在点 附近有定义,若对于任意数列 均有 ,则

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