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墨滴

张春成

2021/12/22  阅读:41  主题:默认主题

数列

数列

数列的存在是为了解决如何表达不那么自然的实数的问题。


度量是解决把如何物体的属性映射成一个数字的问题。 最简单的度量是简单的自然数, 以及它们的和、差、积、商组成的有理数。

有理数集是可微的, 也就是说在任意有理数的小的邻域内, 无论这个邻域多么小, 都总是能找到另一个有理数包含在其中。

但可微并不保证连续, 因为我们明确的知道有些“实数”存在, 而它们无法表示成有理数的形式。 比如 ,科学对数 等等。

我们无法知道它们确切的数值, 因此只能用给定性质的方式对它们进行限定, 比如两个自己相乘等于2的数; 直径为1的圆周长度; 指数函数的导函数等于自身的数等等。 此时,浩如烟海的实数开始脱离简单数字的概念。

其中一些有较为简单明了的表达方式, 比如 是2次方程的一个解; 推而广之, 只要是有理数,不管是根号啥玩意都能表示成2次方程的一个解; 再推而广之,这类数的和、差、积、商, 无论开几次方根, 它们也还是多项式方程的解。 在数学上,这类数有一个统一的称呼, 称为“正规数”。

正规数是可数的, 因为多项式是可数的。 而实数是不可数的。 所以在正规数之间,真的就只剩下符号了。

只有符号的存在不能令人满意。 而为了建立有理数与这些符号之间的桥梁, 古人“发明”了数列这种东西。 也就是说, 数列代表了在有理数范畴内, 按照某种规律不断逼近某个实数的方式, 或者说路径。

从这样的观点来讲,

数列是手段, 而实数是目的。 为了表达特定的实数, 我们必须“发明”一个特定的数列出来。

也因此, 我们认为“收敛”是数列能够完成使命的必要条件, 数列收敛保证了路径具有尽头。

张春成

2021/12/22  阅读:41  主题:默认主题

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张春成