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墨滴

Edceeeeeeee

2021/08/06  阅读:42  主题:凝夜紫

5道积分好题

1.求积分

:

2.设 ,且 ,试证:

:由积分第一中值定理

于是,

, 知 内的严格上凸函数. 故由 不等式, 得

3.设 上二阶可导,且 ,求证:

:由于 ,故 上下凸,则在点 处,可知:

分别对两边求积分,并注意到

于是

4.设 上可微, 单调递增且 . 求证:

:容易知道:

由于 单调递减且 . 由积分第二中值定理知:

命题得证.

5.设 .求证:

:由于 , 故 上单调递减, 且 由积分第二中值定理的 形式可知:

又显然可知

所以

Edceeeeeeee

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