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墨滴

张春成

2021/10/27  阅读:39  主题:默认主题

群的例子(之一)

群的例子(之一)

本文将给出一个简单的例子, 试图说明如何从变换的角度理解群。


一个简单的游戏

一个简单的游戏,需要两个人参加。 游戏规则如下:

  • 两人各自扔一枚均匀硬币,得到正面或反面朝上的结果;
  • 彼此不知道对方的结果;
  • 两人互猜对方的结果,若有一方猜对,即游戏胜利。

我们问题是,这个游戏有必胜的策略吗? 答案是有的,

  • 一人猜对方的结果与自己的相同;
  • 另一人猜对方的结果与自己的不同;
  • 因为答案无非以上两种,所以该策略能保证两人必胜。

下面将从群论的角度,解释以上策略。 或者更进一步地,从群论的角度,说明此游戏的必胜策略为何存在。

群论的解释

为了使用群论对游戏进行解释, 首先需要建立群的表示方法,如下图所示

Group Example1 2D
Group Example1 2D

如图所示,我们将两个玩家列为互相垂直的两条轴线, 这样所有结果可以表示为二维空间中的 个点。

判断过程可以抽象为两次翻转:

  • 第一次翻转是判断变换:

    • 我们假定横线坐标轴的玩家假定两人结果一致,所以他坚持自己的结果;
    • 另一条坐标轴(纵线)的玩家假定两人结果不同,所以他选择自己结果的反面。
  • 第二次翻转是匹配变换:

    • 因为玩家猜测的是对方的结果,因此需要对猜测结果沿 度轴线做一次翻转。

不难发现,经过两次翻转之后, 没有哪一个点与原始位置偏离 个单位, 也就是说,没有哪一点跑到原始位置的对角线位置。 因此,总有一个玩家是对的。

群的地位在哪里呢? 我们这里就需要定义“群”是一种翻转方式的组合。

沿着特定的轴进行翻转这个变换是群的元素。

不难验证,这些元素满足如下关系:

  • 个点沿特定轴线进行翻转操作之后, 还是这 个点,只是位置变了,所以是原群;
  • 翻转 次之后,这 个点会回到原始位置,因此满足交换律,所以是半群;
  • 翻转 次等价于没有旋转,因此是含幺半群;
  • 翻转奇数次总是相当于翻面,它本身是自己的逆元,因此是群。

这样来看,“第一次翻转”和“第二次翻转”操作所构成的集合都是群, 游戏的判断过程是群元素操作的叠加。 因此,这种群的存在,是游戏必胜策略存在的必要条件。

游戏增加复杂性

接下来,我们通过“升维”增加游戏的复杂性。

  • 游戏玩家增加为三名;
  • 每名玩家每次随机出三种互斥的结果;
  • 每名玩家猜另外两名玩家的结果;
  • 三人有一人猜对,游戏即胜利。

在这样的设置下,必胜条件是存在的吗? 答案是不存在的。

我们还是从群论的角度给予解释

Group Example1 3D
Group Example1 3D

上图表示进行判断所需要的群变换。

从翻转变换中可以看到, 我们不能保证经过翻转之后, 所有的点还在原来的直线上。 甚至可以说,经过翻转之后,至少有一个点落在原始位置所在的直线之外。

也就是说,无论三人采用怎样的策略, 都会有至少一种情况,使得所有猜测点均不满足胜利条件。

这个分析思路与群论分析魔方解法有相似之处, 也是群论方法分析问题的基本思路之一。

张春成

2021/10/27  阅读:39  主题:默认主题

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张春成