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墨滴

张春成

2021/09/12  阅读:33  主题:默认主题

一些不变性(之一)

一些不变性(之一)

函数的本质是映射。 而“不变性”是规范映射变量之间关系的重要渠道。


洛仑兹变换

事件的四维描述

在物理世界描述一个“事件”的发生, 我们需要建立四维坐标系

其中, 代表时间, 代表三维空间。 就像小学生写记叙文一样, 某事件在某时刻某地点发生。

而为了描述这样一个事件

有一束光,在真空中传播了 时间

我们立即可以得到这样一个方程

由于光速 具有不变性, 我们可以将上式进一步简化为

其中,

此方程就提供了一个基本的, 光速不变假设条件下的坐标系约束。 并且,这个方程将时间和空间两个维度进行了同等约束。

二次型

将上式转换为二次型

二次型不仅简化了原方程的描述, 同时允许我们使用线性变换的思想进行一些基于“不变性”的矩阵运算。

不变性

在两个坐标系下, 同样观察这一束光的事件, 那么它们各自都可以建立自己的坐标系对它进行描述。 分别是

我们不知道这两个坐标系之间的映射关系, 于是建立一个线性方程

为了方便起见, 我们设置 矩阵为

利用“光速不变性”, 可知变换后的坐标仍满足“二次型”约束, 因此易知

这样, 我们得到了针对 个未知数的 个方程

为了对这 个未知数进行求解, 引入新变量 ,使

则有

惯性系

在最简单的情形下, 两个坐标系之间保持匀速直线运动的对应关系, 运动速度为

原坐标系下任取一个空间点, 由于在该坐标系下, 该点在空间上不动, 而只在时间上进行“演化”(抱歉,我目前只能写出来这个词)。 那么,它在 维时空中进行流动的过程, 可以表示为

其中,

我们接下来在另一个坐标系下对同一点进行观测。 与原坐标不同的是, 新坐标系与原坐标系之间具有恒定速度 。 则该点的新表示为

其中,

因此,有如下方程

最后,再把我们日常使用的 变量从 方程中解放出来。 上式等价于

因此,缩放系数可以重新标定为

至此,我们已经在无意间, 找到了惯性系之间的时间和空间尺度对应关系, 即狭义相对论中的“钟慢”和“尺缩”效应。 也即描述惯性系之间坐标变换的“洛仑兹变换”。

说明

本文的二次型分析思路是受推导思路[1]的启发。

参考资料

[1]

推导思路: https://www.zhihu.com/question/311184818/answer/594534126

张春成

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张春成