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墨滴

蒹葭苍苍

2021/12/01  阅读:50  主题:姹紫

代数方程的解法

1 简介

代数方程一直是古典代数学研究的重点。早在16世纪,欧洲数学家们就已经知道了一、二、三、四次代数方程的解法。但每种方程的解法都各不相同的,所以对后续研究的影响很小。直到18世纪,法国数学家拉格朗日才找到了一种代数方程的统一解法,即利用根的对称性和预解式方程求解方程。

今天介绍的是另一种简单的代数变换的方法,即便是中学生也能轻易地理解。

2 韦达定理

在正式开始解方程之前,先介绍一下韦达定理。法国数学家韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理。显然,现在利用基本的代数知识容易验证这个定理是成立的。

对于一次方程 有根与系数的关系:

对于二次方程 有根与系数的关系:

对于三次方程 有根与系数的关系:

对于四次方程 有根与系数的关系:

3 关键思路

今天介绍的求解方法的关键思路在于,一个重要的基本原则

如果高次方程有根式解的话,那么它的求根公式中一定包含低次方程的求根公式。

注:这个原则是我的瞎编,没有证明过,请各位大神求证一下。

另外,我们定义:

将幂函数 代入一个 次方 程中复合得到的新的方程称为 次型方程。

同时,我们假设:

一次方程 和幂函数方程 的解法是已知的。

4 一次方程的求解

对于一次方程 ,可以利用简单的移项或者利用韦达定理,解得:

5 二次方程的求解

对于二次方程 ,先进行一次基本的代数变换,令 ,可以化简为

,其中 。(其实到这里,即便是初一的学生也能求解了,但为了能与后面的方法统一,我们不直接求解。)

根据前面的基本原则,设 ,其中 是一次型方程的根(其实也是幂函数方程)。由此化简为

利用一次方程的解法,解得

所以

通过因式分解或综合除法,进一步求得

注:这种解法与预解式为 的解法是等效的。

6 三次方程的求解

对于三次方程 ,令 ,则化简为

,其中

根据基本原则,设 ,其中 为二次型方程的根。代入后得

整理得

时,等式成立。

此时,

根据韦达定理, 恰好是二次方程 的根。

利用二次方程的解法,解得

所以,有

通过因式分解或综合除法,进一步求得

,其中

注:可以发现,三次方程的求解步骤基本上是与卡当法是一致的。毕竟,这种方法是卡当法的延伸。另外这种解法与预解式为 的解法是等效的。

7 四次方程的求解

对于四次方程 ,令 ,则化简为

,其中

根据基本原则,设 ,其中 为三次型方程的根。

但是,四次方根可以看出是两个二次方根的复合。所以我们可以设 ,其中 为三次型方程的根。

代入方程,得 整理得

化简为

时,等式成立。

此时,

根据韦达定理, 恰好是三次方程 的根。

利用三次方程的解法,解得 ,即可求得原方程的根

通过因式分解或综合除法,进一步求得

注:四次方程的这种解法可以在《浅谈高次方程》[1]《数学的源与流》[2]。另外,这种方法与预解式为 的方法是等效的。

8 五次及以上方程的求解

对于五次方程 ,令 ,可化简为 的形式。

然后根据基本原则,设 ,其中 为四次型方程的根。代入后可得一个包含28项的等式。但是,只能得到 的表达式,而没有 的表达式,导致无法继续求解。

因此,这种方法对于五次方程是无效的。自然地,对更高次的方程也无效。

9 后记

总的来说,利用前面提到的基本原则,通过简单的代换和合并同类项,可以统一地求解一、二、三、四次方程。它比预解式方法简洁一些,是一种比较通俗易懂的方法。

多读名著,多看文献,少吃零食,多动脑筋。哈哈~~

参考资料

[1]

《浅谈高次方程》: https://www.baidu.com/link?url=MFTAixqzydSupa40kyVPSgPSE6MDZE1KFG2BxXhY-E4wpDSE3sk8Msiiu16Ob-BBgN6VEuV79dck6g6-Bztd5xVT-3x7TCY8nP9G93CaaAW4aJE0TO1uobb5Ue7DMr1e8RzuXKtHGeQcjMcoMoZZczFqKgIKsOZ8TSw44yrriuW&wd=&eqid=999ee2460024058d000000035e0f53a3

[2]

《数学的源与流》: https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E6%BA%90%E4%B8%8E%E6%B5%81/3084568

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