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墨滴

瞿立建JoyfulPhysics

2021/05/25  阅读:34  主题:橙心

耶鲁Shankar 基础物理5.3 机械能守恒定律 #27

总结前文讨论,得

整理得

现在,我们做一个细微的变化,引入函数

于是,得到

这就是机械能守恒定律,其中 称为总机械能, 称为势能

机械能守恒意味着当物体在力 的作用下运动时,无论它在加速还是减速,一个确定的量

不随时间改变。如果你知道了某个时刻的 值,那么你就知道了任何时刻的 值。

让我们考虑一个简单的例子。

拿起一块石头,松手,石头下落,它的速率在增加,高度在下降,你也许会猜到存在一个与高度和速度有关的物理量,一直保持不变。这个常量是什么?

重力为 ,则势能

因为它满足

由机械能守恒定律(5.14),得

对于物体和弹簧组成的系统,相应的势能是

因为它满足

由机械能守恒定律(5.14),得

思考这样一个练习题。我拉动物体,使弹簧伸长 ,松手,让物体运动,我想知道物体在某个位置,如 处的速度。如果你用牛顿第二定律求解,会非常麻烦,你不妨试一试。

如果应用机械能守恒定律,你会很快得到结果。由(5.20)式,初态 ,末态不写下标2,用以表示一般状态,由(5.20)式,得

在初始时刻,物体动能是零,仅有势能,在之后的任意时刻,我们可以解出物体在任何位置 处的速度。如果 ,有

我们得到两个解,为什么?

这是因为物体可能从两个方向经过原点,如果是第一次经过原点,它将向左运动,速度为负值。

任意位置 处,速度为多少?

由(5.21)式,得

你可以看出来为什么现在求解速度要简单得多,这是因为通过对弹力积分,并以 的形式表示出来,我们已经一次性地计算出了在 两点间由弹簧引起的动能增量。

现在我们考虑另一个问题。一物体悬挂在天花板上,竖直坐标y的原点置于弹簧自然长度处,弹簧的弹力为-ky。现在有两个势能,重力势能和弹性势能,动能定理写为:

改写为

这正是机械能守恒定律。

瞿立建JoyfulPhysics

2021/05/25  阅读:34  主题:橙心

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瞿立建JoyfulPhysics