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墨滴

张春成

2021/10/23  阅读:32  主题:默认主题

群是个神奇的概念。


不要被抽象吓住

我们从小接受的数学教育一定是出了问题, 才会导致引入抽象概念的时候面临极大的困难。

具体来说,一个普通的学生, 他的加减乘除四则运算的体系一旦建立, 他的大脑中就自然地排除了抽象代数存在的必要。 因此,一些非常直观的表达才被冠以“抽象”的帽子, 让人望而却步。

比如,按照现在的教学顺序, 实数的概念就是在集合论之前, 过早地引入了中学生的知识体系, 导致人们难以注意到实数域所具有的,抽象的代数结构。

或者我这样说也不太公道, 因为小学数学里确确实实是有教授集合的定义。 但是更保守的说法是,它实在是显得过于简单了, 像《长津湖》一样,故事讲了,但没完全讲透, 就给深入理解造成了麻烦。

结构小例

刚刚提到了“抽象的代数结构”, 也许这么说也还是过于让上摸不着头脑。 我在这里,尝试用钟表表盘,举一个例子, 尝试说明,我们日常所见的东西,都能具有意想不到的结构性。

简单来说, 我们观察一个钟表的时针、分针和秒针, 在每个时刻统计三个指针之间的角度。 如果不加思索地(像直接给出实数定义那样简单粗暴地) 想象这些角度值在一个三维空间中的分布, 我们可能会得出这样的简单推论, 观测值会是在 之间的三维空间中均匀分布的一些点。 但事实上,这些点的分布具有高度的结构性, 甚至只占有整个三维空间的一小部分。

【这是一段棒到不行的视频】

在动图中,我展示了一段时间内, 钟表上三个表针之间角度所构成的全部点的集合。 由于三个表针具有联动特性, 因此这些点只能沿某个平面进行延展, 而无法占满整个空间。 钟表如此,实数更甚。

平凡的群

这样的结构化特性, 是不能由简单的一句“实数”来完整描述的。 那怎么描述它们呢? 数学家告诉我们,用“群”。

简单来说

任意一个集合,给它的元素定义一个二元运算,就可能获得一个群。

当然,这里不是间任意的集合都能成为一个合格的群。 从集合到群,它还有一段路要走,

  1. 对运算封闭

    集合中任意两个元素,经过运算后得到的新元素还是集合的元素;

  2. 满足结合律

    某个元素依次与另外两个元素进行运算,结构不受运算顺序的影响, 注意,这里的结合律并不等同于交换律;

  3. 有单位元

    集合中包含这样一个特殊元素, 它与任意其他元素的运算结果均等同于那个元素;

  4. 存在逆元

    集合中任意一个元素,都能找到对应的元素, 使两个元素的运算结果为单位元。

按照给定的顺序,我们的集合依次升级为

  1. 对运算封闭 --> 原群(magma)
  2. 满足结合律 --> 半群(semigroup)
  3. 有单位元 --> 含幺半群(monoid)
  4. 存在逆元 --> 群(group)

为了避免过于抽象,这里举几个例子,

半群的例子一

如果我们从“人”的集合开始,

  1. 两个人结合,生(成)一个新人,新人还是人,所以是原群;
  2. 而 (AB)C 与 A(BC) 生成的新人身份不同, 前者是 A 的 儿女,而后者是 A 的孙辈, 所以不属于半群。

这个例子到此为止。

群的例子一

如果我们从“自然数”的集合开始,引入加法运算,

  1. 自然数 的加法结果还是自然数,所以是原群;
  2. 自然数加法具有结合律,所以是半群;
  3. 而自然数集合里没有单位元,所以不是含幺半群。

怎么办呢?我们需要引入 ,

  1. 新的整数 可以作为“自然数加零”扩展集合的“单位元”,所以是含幺半群;
  2. 而新的集合却仍然缺乏逆元,所以不是群。

怎么办呢?我们需要引入 这样的逆元,

  1. 含有负数的“自然数加零加负数”扩展集合的正、负元互为彼此的逆元,所以是群。

因此,自然数集合是半群;而整数集合是自然数集合加零加负数,才是群。

群的例子二

同样与“自然数”的集合开始,引入乘法运算,

自然数集合可以推导出原群、半群和含幺半群,其中单位元是 。 但是这个集合中尚不包含逆元。 为了补全逆元,我们需要引入全部有理数。 因此,全部的正有理数构成一个群。

群的例子三

事实上,为了构造乘法的群,我们并不需要引入全部自然数。 简单来说,从 和任意一个质数开始, 我们都可以构造只属于这个质数的群。 同样可以注意到,不同的质数生成的群除了 这个公共元素之外, 都是互不相交的。 也就是说,每个质数都有属于自己的“专属群”,这是很神奇的性质。

这些质数各自的群,称为有理数群的子群。

张春成

2021/10/23  阅读:32  主题:默认主题

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张春成