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墨滴

杜宝坤

2021/10/09  阅读:20  主题:默认主题

白话机器学习之(四)逻辑回归

白话机器学习-逻辑斯蒂回归-理论+实践篇


概述

前面讲述了线性回归,线性回归的模型 。模型的预测值逼近真实标记y。那么可否令模型的预测值逼近真实标记y的衍生物呢。比如说模型的预测值逼近真实标记的对数函数。下面引入逻辑回归的知识。

转换函数

我们需要一个单调可微函数将分类任务的真实标记y与线性回归模型的预测值联系起来,所以需要一个转换函数将线性模型的值与实际的预测值关联起来。 考虑二分类问题,其输出标记是y属于{0,1},而线性模型产生的预测值是 是实值,那么我们需要将这个实值转化成0/1值,最理想的函数是单位阶跃函数。

单位阶跃函数

单位阶跃函数(unit-step function),如下图,如果预测值大于零则判断为正例;如果预测值小于零则判断为反例;为零的则任意判断。如下图所示。

sigmoid function

从图中可以看出,单位阶跃函数不连续因此不适合用来计算。这里我们引入sigmoid函数,进行计算。

将z值转化为一个接近0或1的y值,并且其输出值在z=0的附近变化很陡。那么我们现在的模型变化成

enter image description here
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几率与对数几率

几率:如果将y作为正例的可能性,1-y作为负例的可能性,那么两者的比值 称为几率,反应了x作为正例的相对可能性。则根据sigmoid函数可得。

称为对数几率;

**由此可以看出, 实际上是用线性模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率,因此,其对应的模型称为“对数几率回归” **

下面介绍损失函数以及计算方法。

损失函数

因为: 。所以

我们采用极大似然估计法进行求解,由于是二分类问题,所以符合概率里面的0-1分布,所以似然函数为 令

对数似然函数为:

求这个函数的最大值,加个负号,求最小值。运用前面章节介绍的梯度下降和牛顿法都可以求解,这里不再赘述。

代码实战

这里讲述通过梯度上升法进行求解,首先,我们需要界定、分析下这个问题,那么我们需要什么样的信息呢?

  1. 输入信息的变量
  • 样本:包括特征与分类标记、正例与负例
  • 回归系数的初始化;
  • 步长的计算;
  • 损失函数的已经确定;
  • 损失函数的梯度的计算;
  • 通过损失函数的梯度和步长确实每次迭代;
  • 迭代的停止条件;
  1. 输入数据(确定上面的变量)
  • 样本信息:包括特征、分类标记(从机器学习实战中提取,后续将贴出;
  • 回归函数的系数都初始化为1.0;
  • 为简单起见,设置步长alpha = 0.001;
  • 损失函数,上面已经介绍:
  • 损失函数的梯度:
  • 迭代的停止条件:maxCycles = 500,迭代500次。
  1. 代码
def loadDataSet():
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix
    labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001
    maxCycles = 500
    weights = ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
        h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult
        error = (labelMat - h)              #vector subtraction
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error # 这里就是用梯度迭代修改参数的值
    return weights
  1. 样本数据
-0.017612 14.053064 0
-1.395634 4.662541 1
-0.752157 6.538620 0
-1.322371 7.152853 0
0.423363 11.054677 0
0.406704 7.067335 1
0.667394 12.741452 0
-2.460150 6.866805 1
0.569411 9.548755 0
-0.026632 10.427743 0
0.850433 6.920334 1
1.347183 13.175500 0
1.176813 3.167020 1
-1.781871 9.097953 0
-0.566606 5.749003 1
0.931635 1.589505 1
-0.024205 6.151823 1
-0.036453 2.690988 1
-0.196949 0.444165 1
1.014459 5.754399 1
1.985298 3.230619 1
-1.693453 -0.557540 1
-0.576525 11.778922 0
-0.346811 -1.678730 1
-2.124484 2.672471 1
1.217916 9.597015 0
-0.733928 9.098687 0
-3.642001 -1.618087 1
0.315985 3.523953 1
1.416614 9.619232 0
-0.386323 3.989286 1
0.556921 8.294984 1
1.224863 11.587360 0
-1.347803 -2.406051 1
1.196604 4.951851 1
0.275221 9.543647 0
0.470575 9.332488 0
-1.889567 9.542662 0
-1.527893 12.150579 0
-1.185247 11.309318 0
-0.445678 3.297303 1
1.042222 6.105155 1
-0.618787 10.320986 0
1.152083 0.548467 1
0.828534 2.676045 1
-1.237728 10.549033 0
-0.683565 -2.166125 1
0.229456 5.921938 1
-0.959885 11.555336 0
0.492911 10.993324 0
0.184992 8.721488 0
-0.355715 10.325976 0
-0.397822 8.058397 0
0.824839 13.730343 0
1.507278 5.027866 1
0.099671 6.835839 1
-0.344008 10.717485 0
1.785928 7.718645 1
-0.918801 11.560217 0
-0.364009 4.747300 1
-0.841722 4.119083 1
0.490426 1.960539 1
-0.007194 9.075792 0
0.356107 12.447863 0
0.342578 12.281162 0
-0.810823 -1.466018 1
2.530777 6.476801 1
1.296683 11.607559 0
0.475487 12.040035 0
-0.783277 11.009725 0
0.074798 11.023650 0
-1.337472 0.468339 1
-0.102781 13.763651 0
-0.147324 2.874846 1
0.518389 9.887035 0
1.015399 7.571882 0
-1.658086 -0.027255 1
1.319944 2.171228 1
2.056216 5.019981 1
-0.851633 4.375691 1
-1.510047 6.061992 0
-1.076637 -3.181888 1
1.821096 10.283990 0
3.010150 8.401766 1
-1.099458 1.688274 1
-0.834872 -1.733869 1
-0.846637 3.849075 1
1.400102 12.628781 0
1.752842 5.468166 1
0.078557 0.059736 1
0.089392 -0.715300 1
1.825662 12.693808 0
0.197445 9.744638 0
0.126117 0.922311 1
-0.679797 1.220530 1
0.677983 2.556666 1
0.761349 10.693862 0
-2.168791 0.143632 1
1.388610 9.341997 0
0.317029 14.739025 0
  1. 获得结果
>>> import logRegres
>>> param_mat, label_mat = logRegres.loadDataSet()
>>> 
>>> logRegres.gradAscent(param_mat, label_mat)
matrix([[ 4.12414349],
        [ 0.48007329],
        [-0.6168482 ]])
>>> 

这里每次迭代采用的是全部的样本,计算量较大,可以修改为每次迭代选取随机的样本。

参考

  • 机器学习实战

杜宝坤

2021/10/09  阅读:20  主题:默认主题

作者介绍

杜宝坤