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墨滴

蒹葭苍苍

2022/01/03  阅读:36  主题:姹紫

代数方程进阶(2)

代数方程进阶(2)

1 高斯定理

  • 如果一个整系数多项式 可以分解为两个有理系数的多项式 的乘积( ),则这两个多项式 的系数均为整数。

证明:

反证法。

的最大公分母为 ,使得 ,而数 都不具有公因子,则

其中

的一个素因子,则 的所有系数都可以被 整除,而 则不能。

分别设 中系数能被 整除的所有项组成的多项式为 ,系数不能被 整除的所有项组成的多项式为 。因此

根据假设,上述等式的右边每一项的系数均可被 整除,而左边并非如此。矛盾!

因此 没有素因子,即 。此时, 均为整数。

2 舍内曼定理

  • 如果整系数多项式 的系数 均可被素数 整除,而常数项 不能被 整除,则 在有理数域上不可约。

证明:

反证法。

是可约的,则 ,其中

根据高斯定理 的系数均为整数。将 的表达式相乘,并与 对比可得

由于 不能被 整除,不妨设 能被 整除,则 不能被 整除。 由于 能被 整除,而 不能,所以根据第二个等式可知, 能被 整除。 由于 能被 整除,而 不能,所以根据第三个等式可知, 能被 整除。 ……

最终可以断定, 也能被 整除,这显然是不可能的。

因此, 是不可约的。

3 后记

类似的判别多项式不可约的定理还有很多,如爱森斯坦定理[1]等等。

细心的朋友可以发现,可约的和不可约的多项式在多项式中所起的作用与合数和素数在自然数中所起的作用一样。因此,举例来说,每一个可约的多项式仅可以用一种方法分成几个不可约的多项式的乘积。与此有关的所有定理都是以不可约多项式的基本定理为基础的。

参考资料

[1]

不可约多项式: hhttps://baike.baidu.com/item/%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E7%BA%A6%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F

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